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δ函数（狄拉克δ函数）是一种广义函数（分布），在数学、物理和工程中具有重要应用。以下是其核心定义和性质的整理：

一、δ函数的定义

1. 直观定义
   δ函数是一个在原点处无限高、无限窄的脉冲，满足：
   $$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}+\infty ,& x=0,\\ 0,& x\ne 0,\end{array}$$
   且积分归一化：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)dx=1.$$

2. 极限定义
   δ函数可通过一系列常规函数的极限表示，例如：

   • 矩形脉冲：
     $$\delta (x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{2ϵ}\cdot \{\begin{array}{ll}1,& |x|\le ϵ,\\ 0,& |x|>ϵ.\end{array}$$
   • 高斯函数：
     $$\delta (x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{\pi ϵ}}{e}^{-x^2/ϵ}.$$
   • sinc函数：
     $$\delta (x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{\sin (ϵx)}{\pi x}.$$

二、δ函数的核心性质

1. 筛选性质
   对任意连续函数 $$f(x)$$，有：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-a)dx=f(a).$$
   示例：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}\delta (x-1)dx=e^{-1}.$$

2. 奇偶性
   δ函数是偶函数：
   $$\delta (-x)=\delta (x).$$

3. 缩放性质
   对非零常数 ( a )，有：
   $$\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x).$$
   示例：
   $$\delta (2x)=\frac{1}{2}\delta (x).$$

4. 导数性质
   δ函数的导数满足：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\delta }^{\prime }(x-a)dx=-f^{\prime }(a).$$
   高阶导数推广：
   $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\delta }^{(n)}(x-a)dx=(-1{)}^n{f}^{(n)}(a).$$

5. 积分性质

   • δ函数的积分是单位阶跃函数 ( u(x) )：
     $${\int }_{-\infty }^x\delta (t)dt=u(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1,& x\ge 0.\end{array}$$
   • 积分与导数的关系：
     $$\frac{d}{dx}u(x)=\delta (x).$$

6. 乘积性质
   若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则：
   $$f(x)\delta (x-a)=f(a)\delta (x-a).$$
   示例：
   $$x^2\delta (x-3)=9\delta (x-3).$$

三、δ函数的傅里叶变换

1. 时域到频域
   δ函数的傅里叶变换为常数1：
   F { δ ( t ) } = ∫ − ∞ + ∞ δ ( t ) e − j ω t d t = 1. \mathcal{F}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) e^{-j\omega t} \, dt = 1. F{δ(t)}=∫−∞+∞​δ(t)e−jωtdt=1.
   这表明δ函数包含所有频率成分，且幅度均匀。

2. 频域到时域
   逆傅里叶变换：
   F − 1 { 1 } = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e j ω t d ω = δ ( t ) . \mathcal{F}^{-1}\{1\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{j\omega t} \, d\omega = \delta(t). F−1{1}=2π1​∫−∞+∞​ejωtdω=δ(t).

四、δ函数的应用场景

• 信号处理：表示理想冲激信号，分析系统响应。
• 量子力学：描述点粒子的位置分布。
• 电路分析：模拟理想电压或电流脉冲。
• 数学物理方程：构造格林函数，求解微分方程。

五、注意事项

• δ函数不是传统函数，需通过积分或极限操作定义。
• 避免直接代入 $x=0$ 求值，而应通过积分性质处理。
• 涉及δ函数的导数时，需注意符号和积分规则。

通过上述定义和性质，δ函数为处理离散、脉冲类问题提供了强大的数学工具。