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一、问题描述
给定一个容量为 W 的背包和 n 个物品。每个物品有一个重量 w[i] 和价值 v[i]。每个物品只能选或不选（即“0-1”），求在不超过背包容量的前提下，所能获得的最大总价值。
输入：
- 背包容量
W（int） - 物品数量
n（int） - 每个物品的重量
w[i]（int[]） - 每个物品的价值
v[i]（int[]）
输出：
- 最大总价值（int）
二、建模分析
定义 dp[i][j] 表示：前 i 个物品中选取若干个，放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。
状态转移方程：
-
如果不选第
i个物品：dp[i][j] = dp[i - 1][j] -
如果选第
i个物品（前提是j >= w[i]）：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i])
初始条件：dp[0][*] = 0（0 个物品时，无论容量多少，价值都是 0）
最终答案：dp[n][W]
三、Java 实现（二维 DP）
public class Knapsack01 {public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int W) {int n = weights.length;int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {int wi = weights[i - 1];int vi = values[i - 1];for (int j = 0; j <= W; j++) {if (j < wi) {dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 装不下} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - wi] + vi);}}}return dp[n][W];}public static void main(String[] args) {int[] weights = {2, 1, 3};int[] values = {4, 2, 3};int W = 4;System.out.println(knapsack(weights, values, W)); // 输出最大价值}
}
四、空间优化（滚动数组）
二维数组空间复杂度为 O(nW)，可以用一维数组降为 O(W)：
public class Knapsack01Optimized {public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int W) {int n = weights.length;int[] dp = new int[W + 1];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = W; j >= weights[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);}}return dp[W];}
}
⚠️ **注意：**必须倒序遍历
j，否则会重复使用同一物品，变成“完全背包”问题。
五、实际应用场景
- 项目预算分配（有限资源选择最优组合）
- 云资源调度（选择若干任务部署到有限资源池）
- 投资组合选择（限定资金下选择最大收益）
- 嵌入式设备资源优化（内存/能耗限制下选择模块）
六、变种问题（可扩展）
| 问题类型 | 描述 | 变化点 |
|---|---|---|
| 完全背包 | 每个物品可以选多次 | 内层循环从小到大 |
| 多重背包 | 每个物品有限个数 | 转换成多个“0-1背包项” |
| 多维背包 | 背包有多个限制条件（如体积） | dp[i][j][k]... 多维数组 |
| 分组背包 | 多个物品组，每组最多选一个 | 分组循环 + DP |