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BM25（Best Matching 25）是一种基于概率检索框架的改进算法，主要用于信息检索中的相关性评分。它通过引入词频饱和函数、文档长度归一化等机制，克服了传统TF-IDF算法的局限性。

一、BM25的核心原理

1. 改进TF-IDF的三大维度

• 词频饱和控制：通过引入非线性函数限制高频词的影响，避免词频无限增长导致相关性偏差。

• 文档长度归一化：对长文档进行惩罚，解决长文档因包含更多关键词而天然得分高的问题。

• 参数可调节性：通过调节因子（如k1、b）灵活控制词频和文档长度的影响程度。

2. 核心设计思想

• 词的重要性（IDF）：基于逆文档频率衡量词的区分能力，包含该词的文档越多，其权重越低。

• 词与文档的相关性（TF优化）：对词频进行非线性变换，使高频词贡献趋于饱和。

• 词与查询的相关性（查询词频）：若查询较长，会额外考虑查询中的词频（qfi），但通常默认qfi=1。

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二、BM25的计算公式

BM25的得分公式分为三个部分，最终得分为所有查询词项的加权和：
$$\text{Score}(Q,D)=\sum _{i=1}^n\text{IDF}(q_i)\cdot \frac{f(q_i,D)\cdot (k_1+1)}{f(q_i,D)+k_1\cdot \left(1-b+b\cdot \frac{|D|}{\text{avgdl}}\right)}$$

1. IDF（逆文档频率）

• 公式：

  $$\text{IDF}(q_i)=\log \left(\frac{N-n(q_i)+0.5}{n(q_i)+0.5}\right)$$

  • $N$：文档总数

  • $n(q_i)$：包含词项$q_i$的文档数

  • 作用：衡量词项的全局区分度，高频词（如“的”）IDF值低。

2. TF（词频）与长度归一化

• 文档词频$f(q_i,D)$：词项$q_i$在文档$D$中的出现次数。

• 长度归一化因子：

  $$K=k_1\cdot \left(1-b+b\cdot \frac{|D|}{\text{avgdl}}\right)$$

  • $|D|$：文档$D$的长度（词数）

  • $\text{avgdl}$：文档集合的平均长度

  • 参数作用：

    ◦ $k_1$（默认1.2）：控制词频饱和度，值越大饱和速度越慢。

    ◦ $b$（默认0.75）：控制文档长度的影响，$b=0$时忽略长度。

3. 得分计算示例
   假设文档库中有1000篇文档（$N=1000$），查询词“算法”在50篇文档中出现（$n(q_i)=50$），当前文档$D$中“算法”出现5次（$f(q_i,D)=5$），文档长度$|D|=800$，平均长度$\text{avgdl}=500$，参数$k_1=1.2$，$b=0.75$：

• 计算IDF：
  $$\text{IDF}=\log \left(\frac{1000-50+0.5}{50+0.5}\right)\approx 2.12$$
• 计算K值：
  $$K=1.2\cdot \left(1-0.75+0.75\cdot \frac{800}{500}\right)\approx 1.8$$
• 最终得分：
  $$\text{Score}=2.12\cdot \frac{5\cdot (1.2+1)}{5+1.8}\approx 2.12\cdot 1.54\approx 3.26$$

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三、BM25的优势与场景

1. 优势

• 抗长文档偏差：通过归一化因子平衡长文档的天然优势。

• 灵活的参数调节：可根据业务需求调整$k_1$和$b$，优化排序效果。

• 适用性广：尤其适合短查询与长文档的匹配（如搜索引擎）。

2. 应用场景

• 搜索引擎：Elasticsearch从5.0版本后默认使用BM25。

• 问答系统：结合RAG（检索增强生成）提升答案相关性。

• 推荐系统：用于候选内容与用户查询的匹配评分。

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四、与TF-IDF的对比

维度	TF-IDF	BM25
词频处理	线性增长，无上限	非线性饱和（如$k_1=1.2$时趋近于$k_1+1$）
文档长度	无归一化	通过参数$b$动态调整影响
参数灵活性	固定公式	可调节$k_1$、$b$、$k_3$（查询词频参数）