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wzjs 2025/9/2 1:52:40

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一、FDR定位原理概述

频域反射法(FDR)通过分析被测设备在频域上的反射特征，来推断时域(距离域)上的故障位置和性质。当电磁波信号沿着传输线进行传播时，如果遇到阻抗不连续点，一部分能量会继续向前传播，另一部分能量则会反射回来。反射的程度由反射系数(S11)决定。反射系数是反射信号与入射信号电压的比值，是一个复数，包含幅值和相位信号， $|\Gamma |$ 表示反射信号的强度， $\Theta$ 是反射系数的相位，表示反射信号对于入射信号的偏移。

相位是FDR定位的关键。信号从测试端传播到故障点再反射回来，会产生一个双程路径的延迟，将这个延迟转换为相位变化：

$\bigtriangleup \varphi =-2*\beta *d$

$\beta$ 是信号的虚部，也为相位常数，它与频域f和电磁波在传输线的传播速度v有关 $\beta =2\pi f/v$
d是故障点到测试端的距离，且因为反射波滞后于入射波，所以带负号

因此，在某个频域f上测得的相位 $\theta (f)$ 直接就包含了故障点的距离信息。

扫频仪在设定的频率范围内，以固定的离散频率点进行步进扫描，每个频点发送一个已知幅值和相位的正弦波信号到设备上，再测量反射信号的幅值和相位，计算该频点的S11。

将所有频率点上测量得到的S11收集起来，形成一个频域函数,称反射系数谱，对反射系数谱进行逆傅里叶变换，可以得到时域(空间域)函数S11(t),它代表的物理意义是设备在时域上的冲激响应。

二、定位原理推导

想要理解频域反射法，波的叠加是必须的，在式2.1中，m是频率采样点的索引，p和q是整数，代表不同距离的索引，对于特定距离点的反射，这个式子为频域反射信号提供了一个正交基，使得通过内积运算可以分离不同距离的反射贡献，从而在逆变换后能够映射到时域。

式2.2是离散傅里叶IDFT的标准形式，可以将数据转换到时域，具体来说

$\Gamma (m)$ 是频域采样点，包含频率f处的幅值和相位信息

$z(n)$ 是变换后得到的离散时域响应，表示信号在距离n处的反射强度。

m对应的每一个频率点。n是时域， $cos(2\pi mn/N)+jsin(2\pi mn/N)=e^{j2\pi mn/N}$ 是复指数基函数，最前的系数则是归一化因子。

而距离索引和距离具有对应关系，此变换将频域反射数据映射到距离域的脉冲响应，从而定位故障点的峰值。

式2.3描述了单故障情况下反射系数的精确表达式，公式的核心是相位延迟和信号衰减的组合，主要为相位和幅值得变换。

在式子的第一部分 $\Gamma _1e^{-2\alpha l}$ 代表了幅值得衰减。 $\Gamma _1$ 是故障点处初始反射系数，可以又FFT后得到每个频点位置对应的初始反射系数。开路时为1，短路时为-1. $e^{-2\alpha l}$ 是信号往返传播距离为2l的衰减系数。 $e^{j2\pi *2l/v*f_L}$ 中，2l/v是信号往返的时间，f是扫频其实的距离。