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马氏距离（Mahalanobis Distance）是一个衡量数据点之间“真实距离”的工具，它比欧氏距离更智能。我们可以通过一个简单例子来理解它。

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1. 先复习欧氏距离

假设你在平面上有两个点 ( A(1,2) ) 和 ( B(4,6) )，它们的欧氏距离是：
$$\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=5$$
特点：欧氏距离默认每个坐标轴的重要性相同，且坐标轴之间完全独立（比如x轴和y轴没有关联）。

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2. 马氏距离要解决的问题

假设你考试有两门科目：数学和语文。

• 情况1：数学成绩的分数范围是0-100，语文也是0-100。此时用欧氏距离合理。
• 情况2：数学成绩的范围是0-100，但语文成绩的范围是0-10（比如按10分制评分）。
  问题：直接算欧氏距离时，语文的1分差异会被放大（因为范围小），而数学的1分差异被缩小。
  解决方法：马氏距离通过考虑数据的分布（比如方差、协方差），自动调整不同维度的“重要性”。

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3. 马氏距离的直观理解

想象一群学生的数学和语文成绩分布成一个椭圆（而不是正圆），椭圆的长轴和短轴方向代表成绩的变化趋势。

• 欧氏距离：像用圆规画圆，无论椭圆方向如何，都按正圆测量距离。
• 马氏距离：会沿着椭圆的形状“拉伸或压缩”坐标系，使椭圆变成一个正圆，再计算距离。
  结果：在椭圆分布的数据中，马氏距离能更真实地反映点之间的相似性。

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4. 数学定义

设数据点$\mathbf{x}$，均值为$\mu$，协方差矩阵为$\Sigma$，则马氏距离为：
$$D_{\text{Mahalanobis}}=\sqrt{(\mathbf{x}-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{x}-\mu )}$$
关键点：

• ${\Sigma }^{-1}$是协方差矩阵的逆，用来“标准化”不同维度的尺度（比如将语文成绩的10分制转换为与数学的100分制可比）。
• 如果数据各维度独立且方差相同，马氏距离退化为欧氏距离。

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5. 回到课程公式

在策略${\pi }_{\theta }({\mathbf{a}}_t|{\mathbf{s}}_t)$中：

• 动作${\mathbf{a}}_t$服从以$f({\mathbf{s}}_t)$为均值、$\Sigma$为协方差的高斯分布。
• 使用马氏距离$\Vert f({\mathbf{s}}_t)-{\mathbf{a}}_t{\Vert }_{\Sigma }^2$，相当于：
  1. 考虑不同动作维度的方差（比如某些关节的移动范围大，某些小）。
  2. 考虑动作维度之间的相关性（比如两个关节联动时，它们的动作可能相关）。

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6. 举个具体例子

假设机器人手臂有两个关节：

• 关节1的移动范围大（方差大），关节2的移动范围小（方差小）。
• 如果直接用欧氏距离，会高估关节2的误差；用马氏距离则会自动按方差调整，更合理地衡量动作偏差。

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总结

• 欧氏距离：适用于各维度独立、尺度相同的情况（比如平面几何）。
• 马氏距离：适用于数据有不同方差、维度相关的情况（比如考试成绩、传感器数据）。
• 课程中的公式：用马氏距离衡量动作与均值的偏差，能更合理地反映策略的优劣。