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深度学习中常见的位置编码方式及其Python实现：

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一、固定位置编码（Sinusoidal Positional Encoding）
原理
通过不同频率的正弦和余弦函数生成位置编码，使模型能够捕捉绝对位置和相对位置信息。公式为：

公式标准数学表达
$$\begin{array}{rl}P{E}_{(pos,2i)}& =\sin \left(\frac{pos}{10000^{2i/d_{\text{model}}}}\right)\\ P{E}_{(pos,2i+1)}& =\cos \left(\frac{pos}{10000^{2i/d_{\text{model}}}}\right)\end{array}$$

公式解析

1. 变量定义
   • pos：token在序列中的绝对位置（从0开始计数）

   • i：位置编码向量的维度索引（范围：0 ≤ i < d_model/2）

   • d_model：模型嵌入维度（如Transformer默认的512）

2. 核心设计
   • 交替使用正弦/余弦：偶数维度用正弦函数，奇数维度用余弦函数，形成周期性编码。

   • 频率衰减特性：维度越高（i增大），分母指数项$\frac{2i}{d_{\text{model}}}$越大，导致频率$10000^{-2i/d_{\text{model}}}$越小，编码的周期性波长越长。

   • 位置唯一性：每个位置pos的编码向量唯一，且相邻位置的编码差异与相对距离成比例。

3. 数学特性
   • 相对位置捕捉：通过三角恒等式，任意两个位置的编码内积仅与相对距离pos_i - pos_j相关，隐含相对位置信息。

   • 外推能力：周期性设计使模型能处理超过训练时最大长度的序列。

关键参数作用

参数	作用	示例值（以BERT-base为例）
d_model	定义编码维度，影响模型容量	768
10000	控制频率衰减速度，值越大高频分量衰减越快	固定超参数
pos	序列位置索引	输入序列的第0/1/2…位

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• Python实现（方式一）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef sinusoidal_position_encoding(max_len, d_model):pe = np.zeros((max_len, d_model))position = np.arange(max_len)[:, np.newaxis]div_term = np.exp(np.arange(0, d_model, 2) * -(np.log(10000.0) / d_model))pe[:, 0::2] = np.sin(position * div_term)pe[:, 1::2] = np.cos(position * div_term)return pe# 示例
max_len, d_model = 50, 64
pe = sinusoidal_position_encoding(max_len, d_model)# 可视化
plt.imshow(pe, cmap='viridis', aspect='auto')
plt.title("Sinusoidal Position Encoding")
plt.colorbar()
plt.show()

输出示例：生成一个形状为 (50, 64) 的编码矩阵，低频维度变化平缓，高频维度变化剧烈。

• Pytorch实现

import torch
import torch.nn as nnclass LearnablePositionalEncoding(nn.Module):def __init__(self, d_model: int, max_len: int = 512):super().__init__()# 初始化位置编码矩阵为可训练参数 (1, max_len, d_model)self.pe = nn.Parameter(torch.empty(1, max_len, d_model))# 正态分布初始化（标准差0.02，与Transformer常规初始化一致）nn.init.normal_(self.pe, mean=0.0, std=0.02)def forward(self, x: torch.Tensor) -> torch.Tensor:"""输入x形状: [batch_size, seq_len, d_model]输出形状: [batch_size, seq_len, d_model]"""seq_len = x.size(1)# 取前seq_len个位置编码（避免越界）position_emb = self.pe[:, :seq_len, :]# 将位置编码与输入相加return x + position_emb

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二、可学习位置编码（Learnable Positional Encoding）
原理
将位置编码作为可训练参数，通过嵌入层动态学习每个位置的表示。

Python实现（PyTorch）

import torch
import torch.nn as nnclass LearnablePositionalEncoding(nn.Module):def __init__(self, max_len, d_model):super().__init__()self.pe = nn.Embedding(max_len, d_model)def forward(self, x):batch_size, seq_len = x.size(0), x.size(1)positions = torch.arange(seq_len, device=x.device).expand(batch_size, seq_len)return x + self.pe(positions)# 示例
d_model, max_len = 64, 50
inputs = torch.randn(32, max_len, d_model)  # 模拟输入 (batch_size=32, seq_len=50)
pe_layer = LearnablePositionalEncoding(max_len, d_model)
output = pe_layer(inputs)
print("Encoded shape:", output.shape)  # 输出：torch.Size([32, 50, 64])

优势：灵活性高，适合特定任务；缺点：依赖预定义的最大序列长度。

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三、相对位置编码（Relative Positional Encoding）
原理
关注序列元素之间的相对位置差异，常用于长序列建模。

Python实现

class RelativePositionalEncoding(nn.Module):def __init__(self, max_rel_pos, d_model):super().__init__()self.emb = nn.Embedding(2 * max_rel_pos + 1, d_model)def forward(self, seq_len):# 生成相对位置索引矩阵（对称）rel_pos = torch.arange(seq_len).unsqueeze(0) - torch.arange(seq_len).unsqueeze(1)rel_pos = torch.clamp(rel_pos + seq_len - 1, 0, 2 * seq_len - 2)return self.emb(rel_pos)# 示例
d_model, max_rel_pos = 64, 10
rel_pe = RelativePositionalEncoding(max_rel_pos, d_model)
rel_enc = rel_pe(seq_len=5)
print("Relative encoding shape:", rel_enc.shape)  # 输出：torch.Size([5, 5, 64])

应用场景：Transformer-XL、音乐生成等长序列任务。

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四、旋转位置编码（Rotary Positional Encoding, RoPE）
原理
通过旋转矩阵将绝对位置信息融入注意力计算，保持相对位置的线性性质。
旋转矩阵公式的标准数学表达式及解析：

标准数学公式
$$R_{\theta ,m}=\left[\begin{array}{cc}\cos (m\theta )& -\sin (m\theta )\\ \sin (m\theta )& \cos (m\theta )\end{array}\right],q^{\prime }=R_{\theta ,m}q,k^{\prime }=R_{\theta ,n}k$$

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Python实现

def rotate_half(x):x1, x2 = x[..., :x.shape[-1]//2], x[..., x.shape[-1]//2:]return torch.cat((-x2, x1), dim=-1)def apply_rotary_emb(q, k, freq):cos, sin = freq.cos(), freq.sin()q_rot = q * cos + rotate_half(q) * sink_rot = k * cos + rotate_half(k) * sinreturn q_rot, k_rot# 示例
d_model, seq_len = 64, 50
q = torch.randn(1, seq_len, d_model)
k = torch.randn(1, seq_len, d_model)
freq = torch.exp(torch.arange(0, d_model, 2) * -(math.log(10000) / d_model))
q_rot, k_rot = apply_rotary_emb(q, k, freq)
print("Rotated shapes:", q_rot.shape, k_rot.shape)  # 输出：torch.Size([1, 50, 64])

优势：支持任意长度外推，广泛用于LLaMA、ChatGLM等大模型。

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总结与选择建议

方法	适用场景	优点	缺点
固定位置编码	通用NLP任务	确定性，无需训练	无法自适应长序列
可学习位置编码	短序列任务	灵活性高	依赖预定义长度，泛化性差
相对位置编码	长文本生成、音乐建模	捕捉相对位置关系	计算复杂度较高
旋转位置编码	大语言模型（LLaMA等）	支持外推，数学性质优雅	实现较复杂