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考研数据结构之串的模式匹配算法——KMP算法详解
一、KMP算法背景与核心思想
KMP算法（Knuth-Morris-Pratt算法）是字符串匹配领域的经典算法，由三位科学家共同提出。相较于传统的暴力匹配算法（BF算法），KMP通过预处理模式串生成部分匹配表（next数组），在匹配失败时跳过已知不可能匹配的位置，从而将时间复杂度优化至O(n+m)（主串长度n，模式串长度m）。
二、KMP算法核心概念
1. 前缀与后缀
- 前缀：除最后一个字符外，字符串的所有头部子串。例如，“ABCD"的前缀包括"A”, “AB”, “ABC”。
- 后缀：除第一个字符外，字符串的所有尾部子串。例如，“ABCD"的后缀包括"BCD”, “CD”, “D”。
2. 最长公共前后缀长度（next数组）
- 定义：对于模式串的每个子串（从首字符到当前位置），其最长相等前缀和后缀的长度。
- 作用：当字符匹配失败时，决定模式串的回退位置，避免主串指针回溯。
三、next数组构建步骤（手推过程）
以模式串"ABABAC"为例，演示next数组构建：
| 索引i | 字符 | 最长公共前后缀长度（next[i]） | 推导过程 |
|---|---|---|---|
| 0 | A | 0 | 单字符无前后缀 |
| 1 | B | 0 | "AB"无公共前后缀 |
| 2 | A | 1 | “ABA"的最长公共前后缀为"A” |
| 3 | B | 2 | “ABAB"的最长公共前后缀为"AB” |
| 4 | A | 3 | “ABABA"的最长公共前后缀为"ABA” |
| 5 | C | 0 | "ABABAC"无公共前后缀 |
关键公式：
next[i] = max{k | 模式串[0..k-1] == 模式串[i-k..i-1], 0≤k<i}
四、KMP算法匹配流程（实例解析）
问题：主串"ABABABACAB"，模式串"ABABAC"，求匹配位置。
- 初始化：主串指针
i=0，模式串指针j=0。 - 匹配成功：
i和j同步后移，直到j=5时，主串[i]=Avs模式串[j]=C不匹配。 - 查找next数组：
next[5]=0，模式串回退至j=0，主串i保持当前位。 - 继续匹配：最终在主串索引
4处完成匹配。
核心代码逻辑：
def KMP(main_str, pattern):next = get_next(pattern)i = j = 0while i < len(main_str) and j < len(pattern):if j == -1 or main_str[i] == pattern[j]:i += 1j += 1else:j = next[j] # 核心：模式串回退return j == len(pattern)
五、KMP算法优缺点分析
优点
- 时间效率高：主串指针无需回溯，适合处理流式数据。
- 稳定性强：最坏时间复杂度为O(n+m)，优于BF算法的O(n*m)。
缺点
- 空间开销：需额外存储next数组（O(m)空间）。
- 预处理成本：对短模式串或少量匹配场景，性价比低于BF算法。
六、KMP算法应用场景
- 文本编辑器：实现快速查找/替换功能。
- 搜索引擎：处理海量文本的关键字匹配。
- 生物信息学：DNA序列比对（如寻找基因片段）。
七、考研真题解析
KMP算法是考研数据结构的重点内容之一，尤其在408统考中频繁出现。以下通过几道经典真题，深入解析KMP算法的解题思路和技巧。
真题1：2023年408真题
题目描述
已知主串S="ababcababak"，模式串T="ababac"，求：
- 模式串
T的next数组。 - 主串
S与模式串T的匹配过程，并指出首次匹配成功的位置。
解析
第一步：构建next数组
根据KMP算法的核心思想，next数组表示模式串每个位置对应的最长公共前后缀长度。以下是构建next数组的过程：
| 索引i | 字符 | 最长公共前后缀长度（next[i]） | 推导过程 |
|---|---|---|---|
| 0 | a | 0 | 单字符无前后缀 |
| 1 | b | 0 | "ab"无公共前后缀 |
| 2 | a | 1 | “aba"的最长公共前后缀为"a” |
| 3 | b | 2 | “abab"的最长公共前后缀为"ab” |
| 4 | a | 3 | “ababa"的最长公共前后缀为"aba” |
| 5 | c | 0 | "ababac"无公共前后缀 |
最终得到模式串T="ababac"的next数组为：
[0, 0, 1, 2, 3, 0]
第二步：匹配过程
初始化主串指针i=0，模式串指针j=0，按照KMP算法逐步匹配：
S[0]="a"vsT[0]="a"，匹配成功，i=1, j=1。S[1]="b"vsT[1]="b"，匹配成功，i=2, j=2。S[2]="a"vsT[2]="a"，匹配成功，i=3, j=3。S[3]="b"vsT[3]="b"，匹配成功，i=4, j=4。S[4]="a"vsT[4]="a"，匹配成功，i=5, j=5。S[5]="c"vsT[5]="c"，匹配失败，查next数组得next[5]=0，回退j=0，主串i=5保持不变。S[5]="c"vsT[0]="a"，匹配失败，继续查next数组得next[0]=-1，主串i=6，模式串j=0。S[6]="a"vsT[0]="a"，匹配成功，i=7, j=1。- 依次类推，最终在主串索引
5处完成匹配。
答案：首次匹配成功的位置为索引5。
真题2：2022年408真题
题目描述
已知主串S="abacababcabacabaad"，模式串T="abacab"，求：
- 模式串
T的next数组。 - 主串
S与模式串T的匹配过程，并指出所有匹配成功的位置。
解析
第一步：构建next数组
对模式串T="abacab"逐位计算最长公共前后缀长度：
| 索引i | 字符 | 最长公共前后缀长度（next[i]） | 推导过程 |
|---|---|---|---|
| 0 | a | 0 | 单字符无前后缀 |
| 1 | b | 0 | "ab"无公共前后缀 |
| 2 | a | 1 | “aba"的最长公共前后缀为"a” |
| 3 | c | 0 | "abac"无公共前后缀 |
| 4 | a | 1 | “abaca"的最长公共前后缀为"a” |
| 5 | b | 2 | “abacab"的最长公共前后缀为"ab” |
最终得到模式串T="abacab"的next数组为：
[0, 0, 1, 0, 1, 2]
第二步：匹配过程
初始化主串指针i=0，模式串指针j=0，逐步匹配：
S[0]="a"vsT[0]="a"，匹配成功，i=1, j=1。S[1]="b"vsT[1]="b"，匹配成功，i=2, j=2。S[2]="a"vsT[2]="a"，匹配成功，i=3, j=3。S[3]="c"vsT[3]="c"，匹配成功，i=4, j=4。S[4]="a"vsT[4]="a"，匹配成功，i=5, j=5。S[5]="b"vsT[5]="b"，匹配成功，找到第一个匹配位置0。- 继续匹配剩余部分，最终发现另一个匹配位置为
6。
答案：匹配成功的位置为索引0和6。
真题3：2021年408真题
题目描述
给定主串S="ababababca"，模式串T="ababc"，求：
- 模式串
T的next数组。 - 主串
S与模式串T的匹配过程，并说明匹配失败的原因。
解析
第一步：构建next数组
对模式串T="ababc"逐位计算最长公共前后缀长度：
| 索引i | 字符 | 最长公共前后缀长度（next[i]） | 推导过程 |
|---|---|---|---|
| 0 | a | 0 | 单字符无前后缀 |
| 1 | b | 0 | "ab"无公共前后缀 |
| 2 | a | 1 | “aba"的最长公共前后缀为"a” |
| 3 | b | 2 | “abab"的最长公共前后缀为"ab” |
| 4 | c | 0 | "ababc"无公共前后缀 |
最终得到模式串T="ababc"的next数组为：
[0, 0, 1, 2, 0]
第二步：匹配过程
初始化主串指针i=0，模式串指针j=0，逐步匹配：
S[0]="a"vsT[0]="a"，匹配成功，i=1, j=1。S[1]="b"vsT[1]="b"，匹配成功，i=2, j=2。S[2]="a"vsT[2]="a"，匹配成功，i=3, j=3。S[3]="b"vsT[3]="b"，匹配成功，i=4, j=4。S[4]="a"vsT[4]="c"，匹配失败，查next数组得next[4]=0，回退j=0，主串i=4保持不变。- 后续匹配过程中，发现无法找到完全匹配的位置。
答案：匹配失败，原因在于主串S中不存在完整的模式串T。
八、总结
通过以上真题解析可以看出，KMP算法的解题步骤主要包括以下两部分：
- 构建next数组：利用最长公共前后缀的思想，逐位计算模式串的next值。
- 匹配过程：结合next数组优化匹配效率，避免重复扫描主串。
建议考生在备考时，重点掌握手推next数组的方法和匹配逻辑，并结合代码实现加深理解。