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二分搜索算法核心-----labuladong笔记

核心思想：

二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

查找框架：

int binarySearch(vector<int>& nums,int target){int left=0,right=nums.size()-1;while(...){//得到中位数int mid=left+(right-left)/2;//与目标数相同if(nums[mid]==target){...}else if (nums[mid]<target){left=...}else if(nums[mid]>target){right=...}}
}

技巧：不出现else，把所有情况用else if写清楚，可以清楚的展现所有细节。

注意：计算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大，直接相加导致溢出的情况。

leecode案例：

一、寻找一个数

搜索一个数，如果存在，返回索引，不存在则返回-1.

class Solution{public://二分搜索框架int search(vector<int>& nums,int target){int left=0;//[left, right]--->right=mid-1int right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid=left+(right - left) / 2;//与目标数相同if(nums[mid]==target){return mid;}else if (nums[mid]<target){left=mid+1;}else if(nums[mid]>target){right=mid-1;}}return -1;}
};

为什么while循环的条件是<=不是<?

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

两端都闭的情况[left, right]，如果左闭右开[left, right),索引大小为 nums.length 是越界的，所以我们把 right 这一边视为开区间。

停止搜索的条件：

if(nums[mid]==target){return mid;
}

如果没找到，则while循环停止，返回-1.

终止条件： left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，区间没有任何数字。

缺陷：

有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

二、寻找左侧边界的二分搜索

int left_bound(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;// 注意right是不可取的所以判断条件是left < right//[left, right)--->right=midint right = nums.size();// 注意while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;//看target在哪个区间if (nums[mid] == target) {right = mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// target在左边则缩小右边界right = mid;}}return left;
}

1. target不存在时返回什么？

   答: 如果 target 不存在，搜索左侧边界的二分搜索返回的索引是大于 target 的最小索引。

   如果想让 target 不存在时返回 -1 其实很简单，在返回的时候额外判断一下 nums[left] 是否等于 target 就行了，如果不等于，就说明 target 不存在。需要注意的是，访问数组索引之前要保证索引不越界:

2. 为什么是 left = mid + 1 和 right = mid？和之前的算法 right = mid-1不一样？

   答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步应该去 mid 的左侧或者右侧区间搜索，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

3. 为什么该算法能够搜索左侧边界?

   可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

4. 为什么返回 left ?

   都一样，终止条件为left==right

int left_bound(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;//[left, right]--->right=mid-1 ; <=int right = nums.size()-1;// 注意while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;//看target在哪个区间if (nums[mid] == target) {//right-1成为区间边界，为了找左边界(单独一个数)right = mid-1;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {// target在左边则缩小右边界right = mid-1;}}// 注意如果target不存在则返回-1return nums[left] == target ? left : -1;
}

这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。

三、寻找右侧边界的二分查找

int right_bound(vector<int>& nums, int target) {//[left, right]--->right=mid-1 ; <=int left = 0, right = nums.size()-1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {// 注意继续成立右区间left = mid + 1;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1;} else if (nums[mid] > target) {right = mid-1;}}// 注意循环结束为left=right+1return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;//或者left - 1改成rightreturn nums[right]==target?right:-1;
}

为什么返回left-1?

答：首先，while 循环的终止条件是 left = right+1，所以 left-1 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right 好了。