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目录

1. 计算机常用进制类别

2. 10进制转各种进制（取余倒置法）

3. 二进制转8进制、16进制

3.1 二进制转8进制

3.2 二进制转16进制

4. 原码、反码、补码

5. 整型提升 与 算术转换

5.1 整型提升

5.2 算术转换

6. 移位操作符

6.1 左移操作符( << )

6.2 右移操作符( >> )

 6.3 左右移的算术式

7. 位运算符

1. 按位与( & )

2. 按位或 ( | )

3. 按位异或( ^ )

4. 按位取反( ~ )

* 练习

---

1. 计算机常用进制类别

在计算机领域中，最常见的几种进制类别分别是二进制、八进制、十进制、十六进制：

• 二进制：是一种只使用0和1两个数码来表示数值的进位计数制，它的基数为2，进位规则是逢二进一
• 八进制：是一种使用0、1、2、3、4、5、6、7共八个数码来表示数值的进位计数制，基数为8，运算规则为逢八进一。
• 十进制：是一种使用0至9共十个数码来表示数值的进位计数制，基数为10，运算规则为逢十进一。
• 十六进制：是一种使用0到9和A到F共16个字符来表示数值的进位计数制，基数为16，运算规则为逢十六进一。（其中a~f 按顺序来就是10~15，大小写意义不变）

8进制小知识：

一、在变量赋值或初始化时，如果第一个数字是0，后面没有数字大于等于8，系统默认你输入的是8进制的数值。

例如：

int main()
{int a = 0;a = 012;	//此时的012等于八进制的12printf("a的值为：%d", a);return 0;
}

 以10进制打印的结果为：

二、八进制的输入输出格式是%o；无论输入时的第一个数字是不是零，输入的结果都是8进制值。

int main()
{int a, b;scanf("%o %o", &a, &b); //以8进制的形式输入printf("十进制下，a的值为%d，b的值为%d\n", a, b);//以10进制的形式输出return 0;
}

可以看到，当输入形式是%o(八进制)时，输入12和012都是一样的。

16进制小知识：

一、在变量赋值或初始化时，如果前面含有0x(或者0X)，后面没有数字大于 f 时，系统默认你输入的是16进制的数值。

例如：

int main()
{int a = 0;a = 0x12;	//此时的0x12是十六进制的12printf("a的值为：%d", a);return 0;
}

二、十六进制的输入输出格式是%x(或者%X)；无论输入时的前面有没有0x，输入的结果都是16进制值。

int main()
{int a, b;scanf("%x %X", &a, &b); //以16进制的形式输入printf("十进制下，a的值为%d，b的值为%d\n", a, b);//以10进制的形式输出return 0;
}

可以看到，当输入形式是%x或%X(十六进制)时，输入12、0x12 (或是0X12) 都是一样的。

2. 10进制转各种进制（取余倒置法）

补充：其实10进制对于我们人类来说，可以算是一种 “中心进制”。人类对于10进制最为敏感，因为10进制与人类有10跟手指密切相关。其他进制都是由10进制演化而来。

先思考一个问题：怎样获得十进制数的每一位数字？

假如现在有个十进制数123，先取余十得到个位数3；再对123除以十得到商12，再对12取余十得到十位数2；对12除以十得到商1，再对1取余十得到百位数1。

我们按顺序得到了个位3，十位2和百位1，只需要按得到的顺序倒过来排列，就得到了123。

对于其他进制也是这样的。比如2进制，先对123取余得到二进制下的第一位数字1，再除以2得到商61；再对61取余二得到二进制下的第二位数字1……以此类推，把所有的余数按倒置排列，就得到了十进制数123的二进制数

总结：10进制转各种进制的步骤

1. 对该数（或商）取余对应进制类别(如2,8,16)得到低位数。

2. 对该数（或商）除以对应进制类别(如2,8,16)得到新的商。

3. 依次重复步骤12，当新的商小于对应进制类别时停止。

4. 停止后，最后的商就是最高位数，按倒置排序就是对应的进制数。

3. 二进制转8进制、16进制

3.1 二进制转8进制

从2进制序列中右边低位开始向左，每3个二进制位会换算⼀个八进制位，剩余不够3个2进制位的直接换算。（每3个二进制位都是独立的，范围都是000 ~ 111，即0 ~ 7）

如：2进制的01101011，换成8进制：0153。

这样做是有一定原理的，我用一张演变图展示给大家看：

3.2 二进制转16进制

从2进制序列中右边低位开始向左，每4个2进制位会换算⼀个十六进制位，剩余不够4个⼆进制位的直接换算。

如：2进制数01101011，换成16进制数0x6b。（16进制表示的时候前⾯加0x）

这个原理跟2进制转8进制是一样的，这里不重复讲解。

4. 原码、反码、补码

• 无符号整数不存在符号位，因此无符号整数没有补码和反码
• 有符号整数的2进制表式⽅法有三种，即原码、反码和补码
• 有符号整数的三种表示⽅法均有符号位，最⾼位被当做符号位，剩余的都是数值位。
• 符号位都是⽤0表示“正”，⽤1表示“负”。

正整数的表示方法：

正整数的原码、反码、补码都相同，最高位是0，数值位上也都一样。

负整数的表示⽅法：

负整数的三种表式⽅法各不相同，但最高位都是1。

• 原码：直接将数值按照正负数的形式翻译成⼆进制得到的就是原码。
• 反码：将原码的符号位不变，其他位依次按位取反就可以得到反码。
• 补码：反码+1就得到补码。

注意：计算机在存储正数和负数时，无论是原码,反码,还是补码，都是以补码的形式存储的。

以char型数据来举例：（char的大小是1个字节，等于8个比特位）

1. 原码：

• +3的原码：0000 0011
• -3 的原码：1000 0011

2. 反码：

• +3的反码：0000 0011
• -3 的反码：1111 1100

3. 补码：

• +3的补码：0000 0011
• -3 的补码：1111 1101

5. 整型提升 与 算术转换

5.1 整型提升

数据传输和处理的基本单位是字节（8位）。然而，为了提高数据处理效率，计算机通常以更高的粒度进行操作。

在32位处理器中，可以一次性处理4个字节；在在64位处理器中，可以一次性处理8个字节。

对于char型和short型（包括无符号的情况）来说，他们只有1个字节或2个字节，都小于4个字节(或8个字节)。所以在计算之前，它们会被转换为普通整型，这种转换称为整型提升。

整型提升的规则：

1.无符号整型：

• ⽆符号整数提升，⾼位补0。

2. 有符号整型：

1. 正整数：高位补0。（正数的原、反、补都一样，正数对原码整型提升）
2. 负整数：高位补1。（负数对补码整型提升）

详细举例：

//正数的整形提升

char c2 = 3;

变量c2的⼆进制位(补码)中只有8个⽐特位： 00000011

因为char为有符号整型，所以整形提升的时候，⾼位补充符号位“0”，提升之后的结果是： 00000000 00000000 00000000 00000011

//负数的整形提升

char c1 = -2;

变量c1的⼆进制位(补码)中只有8个⽐特位： 1111110

因为 char 为有符号整型，所以整形提升的时候，⾼位补充符号位“1”，提升之后的结果是： 11111111 11111111 11111111 11111110

数据截断：

两个整数相加时，对于比较小的整型(在32位中小于int的整型，在64位中小于long long的整型)，如果最后的数值大于对应存储整型的范围，加法器会先计算出正确的数据，再对多出的字长进行数据截断。【截断的是高位2进制数据】

比如：

char a = -2, b = 3;

char c = a+b;

那么a+b的结果就是：

11111111 11111111 11111111 11111110 + 00000000 00000000 00000000 00000011

等于 10000000 00000000 00000000 00000001

因为char的大小是1个字节，所以截断高位地址的3个字节，剩下：

00000001

所以c的结果就是1。

其实从这里可以看出，符号位也是真实参与二进制运算的。数据截断后，符号位还剩0就是正数，符号位还剩1就是负数。

数据溢出：

两个整数相加时，对于最大的整型(32位中最大是int型，64位中最大是long long型)，如果结果超过了能表示的最大值或最小值，加法器会在达到非符号最高位时停止计算，这意味着结果没算完就赋值给接收的变量了。

这是因为计算机中的算术逻辑单元（ALU）在执行加法操作时，会检查是否发生了溢出。一旦检测到溢出，它就会停止进一步的计算并产生一个溢出标志。

5.2 算术转换

如果某个操作符的各个操作数属于不同的类型，那么除⾮其中⼀个操作数的转换为另⼀个操作数的类型，否则操作就⽆法进⾏。下⾯的层次体系称为算术转换。

（整型提升是针对相同类型的计算时，类型字长不够4或8个字节的情况）

如果某个操作数的类型在该列表中排名靠后，那么⾸先要转换为另外⼀个操作数的类型后执行运算：

1. long double
2. double
3. float
4. unsigned long int
5. long int
6. unsigned int
7. int

(char和short会主动转化为int再计算)

[ 整型变成浮点型，其实算是一种隐式类型转换，也会存在类型截断；整型与浮点型的之间的转换还存在一种显式类型转换，详细请看《数学计算类操作符 和 算术类型转换》 ]

6. 移位操作符

注：移位操作符的操作数只能是整数。

6.1 左移操作符( << )

移位规则：

• 左边抛弃、右边补0。(有符号数 和 无符号数都一样)

注意：计算机存储数据用的是补码，无论是正数还是负数，都是对补码左移。

举例说明：

int main()
{char num = -113;char n = num << 2;printf("num = %d\n", num);printf("n = %d\n", n);return 0;
}

结果：

num初始化为十进制数-113，而-113的二进制补码是：

1000 1111

左移两位后，结果为：

0011 1100（此时变成了正数，是+60的二进制数值）

所以n接收到的值是60。

[ 从这里也可以看出，“n = num << 2”执行后，num的值是不会被改变的 ]

6.2 右移操作符( >> )

移位规则：

右移运算分两种：

1. 逻辑右移：左边用0填充，右边丢弃。【针对无符号整数】

2. 算术右移：左边⽤原该值的符号位填充，右边丢弃。【针对有符号整数】

• 正数：左边用0填充，右边丢弃。
• 负数：左边用1填充，右边丢弃。

注意：计算机存储数据用的是补码，无论是正数还是负数，都是对补码右移。

逻辑右移的例子：

int main()
{unsigned char num = 255;unsigned char n = num >> 1;printf("n= %d\n", n);printf("num= %d\n", num);return 0;
}

结果：

num初始化为十进制数255，而255的二进制数是：

1111 1111。

此时num是无符号整型，右移采用的是逻辑右移，左边补0。右移一位后的结果是：

0111 1111（也就是十进制数127）

[ 从这里也可以看出，“n = num >> 1”执行后，num的值也是不会被改变的 ]

算术右移的例子：

int main()
{char num = -125;char n = num >> 1;printf("num = %d\n", num);printf("n = %d\n", n);return 0;
}

结果：

num初始化为十进制数-255，而-255的二进制补码是：

1000 0011 （也是 -3 的原码）

此时num是有符号数，采用算术右移，右移后对补码左边补1。右移一位的结果为：

1100 0001（这是 -63 的补码，也是 -65 的原码）

因为计算机以补码的形式存放，所以n接收的值是-63。

 6.3 左右移的算术式

（1）正数 / 2 == 正数 >> 1

（2）正数 * 2 == 正数 << 1

注意：这个式子只适合正数，不适合负数。

类比理解：

在10进制中，假如有个数是123，如果我们对123除以10，则计算机的结果是12；如果123乘上10，则计算机的结果是1230。虽然没有针对10进制的左移右移操作符，但这里看起来是不是就像是把123左右移动？

没错，2进制也是如此。除以10就少一个十进制位，除以2就多一个二进制位；乘10就多一个十进制位，且该位是0，乘2就多一个二进制位，且改位也是0。

7. 位运算符

C语言中一共有4种位运算符，分别是按位与、按位或、按位异或、按位取反。

1. 按位与( & )

作用：比较两个数值中的每一个比特位，并返回比较后的二进制结果。

 &的比较规则：

(1)当上下两个比特位都是1时，该二进制位的结果是1。（都是1，才是1）

(2)当上下两个比特位含有0时，该二进制位的结果是0。（存在0，就是0）

注意：比较的是两个数的补码。

代码举例：

int main()
{char num1 = -3;char num2 = 5;printf("num1 & num2 = %d\n", num1 & num2);return 0;
}

结果：

程序分析：

num1是-3，-3的补码是1111 1101；num2是5，5的补码是0000 0101

// 1111 1101

// 0000 0101

上下都是1可以得到一个1，上下有0会得到一个0，最终每个二进制的值是：

0000 0101（结果是5的二进制数）

所以num1 & num2的结果是5。

按位与& 和 逻辑与&& 的区别在于：

(1)比较的对象不同：逻辑与&&比较的是2个数；按位与&比较的是2个数中的每一个比特位上的值

(2)返回的结果不同：逻辑与&&返回的是10进制中的0和1；按位与&返回的是一个2进制数。

2. 按位或 ( | )

作用：比较两个数值中的每一个比特位，并返回比较后的二进制结果。

 | 的比较规则：

(1)当上下两个比特位含有1时，该二进制位的结果是1。（存在1，就是1）

(2)当上下两个比特位都是0时，该二进制位的结果是0。（都是0，才是0）

注意：比较的是两个数的补码。

代码举例：

int main()
{char num1 = -3;char num2 = 5;printf("num1 | num2 = %d\n", num1 | num2);return 0;
}

程序分析：

num1是-3，-3的补码是1111 1101；num2是5，5的补码是0000 0101

// 1111 1101

// 0000 0101

上下都是0可以得到一个0，上下有1会得到一个1，最终每个二进制的值是：

1111 1101（结果是-3的补码）

所以num1 & num2的结果是-3。

按位或| 和 逻辑或|| 的区别在于：

(1)比较的对象不同：逻辑或|| 比较的是2个数；按位或 | 比较的是2个数中的每一个比特位上的值

(2)返回的结果不同：逻辑或|| 返回的是10进制中的0和1；按位或 | 返回的是一个2进制数。

3. 按位异或( ^ )

作用：比较两个数值中的每一个比特位，并返回比较后的二进制结果。

 ^ 的比较规则：

(1)当上下两个比特位同时含有1和0时，该二进制位的结果是1。（不同为1）

(2)当上下两个比特位都是0或者都是1时，该二进制位的结果是0。（相同为0）

注意：比较的是两个数的补码。

代码举例：

int main()
{char num1 = -3;char num2 = 5;printf("num1 ^ num2 = %d\n", num1 ^ num2);return 0;
}

程序分析：

num1是-3，-3的补码是1111 1101；num2是5，5的补码是0000 0101

// 1111 1101

// 0000 0101

上下相同为0，不同为1，最终每个二进制的值是：

1111 1000（结果是-8的补码）

所以num1 & num2的结果是-8。

按位异或的算术式：假设有一个变量a，则有：

（1）a ^ a == 0

（2）a ^ 0 == a

(其实无论是按位与、或、异或，他们都满足交换律和结合律，所以就有下面的推广)

假设有另一个变量b，则：

                             a ^ b ^ b == b ^ a ^ b == b ^ b ^ a == a

4. 按位取反( ~ )

 作用：这也是一种二进制运算，它对一个数的每一位进行逻辑非操作。（0变1,1变0）

注意：是对补码取反，而且符号位也会取反。（所有的位运算，符号位也都会被操作）

代码举例：

int main()
{printf("~3 = %d\n", ~3);return 0;
}

程序分析：

3的二进制码是0000 0011。

对-3取反，每一个二进制位都会取反：

变成1111 1100（这是-4的补码）

* 练习

题目要求：

编写代码实现：求⼀个整数存储在内存中的⼆进制中1的个数。

思路1：

在前面讲取余倒置法的时候说过，要想把2进制转换为10进制，就需要重复“对商取余，除数求新商”。每求出一个余数，就多一个2进制位；如果余数是1，那么该二进制位上就是1。所以我们可以仿照这样，来求得⼀个整数存储在内存中的⼆进制中1的个数。

根据思路1，我们可以写成下面的代码：

方案1：
int main()
{int num = 10;int count = 0;//计数while (num){if (num % 2 == 1)//取余，余数是1说明该二进制位是1count++;num = num / 2; //除以进制2，求得新的商}printf("⼆进制中1的个数 = %d\n", count);return 0;
}

当我们刚刚思考时没有注意到一个问题：计算机存储的是补码，方案1无法计算整数为负数的情况。

思路2：

我们刚刚学完位运算，能不能通过位运算来解决呢？估计敏感的同学以及想到了，任意一个数和1进行 按位与 运算，如果这个数的最低位是0，那么按位与运算的结果是0，否则就是1。我们再把这个数进行右移，比较它的下一位，这我们不就能实现了吗？

以数值6举例：（假设用变量a存储）

// 0000 0110 （第一次）

// 0000 0001

第一次a & 1的结果是0，计数器不用加1，我们右移继续比较：

// 0000 0011 （第2次）

// 0000 0001

第2次a & 1 的结果是1，计算机加加，以此类推……

我们重复比较完符号位才停止，总共32次（我们的变量是int型，共4个字节，32个比特位）。由此写成下面的代码：

方案2：
int main()
{int num = -1;int i = 0;int count = 0;for (i = 0; i < 32; i++)//4个字节，32个比特{if ((num >> 1) & 1) //其实也可以写成 num & (1 << i)count++;	   //上面的右移与下面的左移，它们的相对变化是一致的}printf("该数字在二进制中1的个数 = %d\n", count);return 0;
}

思路3：

为了优化固定次数，最终会写成这样：（这个思路难想）

方案3：
int main()
{int num = 0;scanf("%d", &num);int count = 0;//计数while (num){count++;num = num & (num - 1);}printf("二进制中1的个数 = %d\n", count);return 0;
}

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我的分享完毕，谢谢大家Thanks♪(･ω･)ﾉ