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一、Bernoulli分布

1. 基本概念

想象你抛一枚硬币：

• 正面朝上（记为 1）概率是 p（比如 0.6）。

• 反面朝上（记为 0）概率是 1-p（比如 0.4）。

这就是一个Bernoulli分布：只有两种可能结果的事件（成功/失败、是/否、开/关等），且概率固定。

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2. 数学表示

Bernoulli分布的概率公式：

• P(X=1) = p （比如“硬币正面”概率）

• P(X=0) = 1-p （比如“硬币反面”概率）

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3. 机器语言例子（Python）

假设你写代码模拟一个故障的灯泡（有60%概率亮，40%概率灭）：

import numpy as np# 生成一个Bernoulli分布的样本（p=0.6）
result = np.random.binomial(n=1, p=0.6)  # n=1表示单次试验
print("灯泡状态:", "亮" if result == 1 else "灭")

运行结果可能是 亮（1）或 灭（0），多次运行会看到大约60%的情况是“亮”。

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4. 为什么叫“Bernoulli”？

这是以数学家雅各布·伯努利命名的，专门用来描述这种“非黑即白”的随机事件。

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5. 实际应用场景

• 扔硬币、赌博输赢

• 二分类问题（如邮件是垃圾邮件/非垃圾邮件）

• 设备故障检测（正常/故障）

简单总结：Bernoulli分布就是描述一个只有两种结果的事件，且你知道每种结果的概率。

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二、Multinoulli分布

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1. 生活场景比喻

想象你有一个 骰子（不是普通的6面骰子，而是一个各面概率可能不同的骰子）：

• 可能的结果：A面、B面、C面（比如分别代表“猫、狗、鸟”）

• 每个面的概率：P(A)=0.5、P(B)=0.3、P(C)=0.2（总和为1）

这就是Multinoulli分布：一个事件有多个（≥2）离散结果，每个结果有固定概率。

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2. 和Bernoulli分布的区别

• Bernoulli：只有两种结果（如硬币正反面）。

• Multinoulli：多种结果（如骰子、分类任务中的类别）。

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3. 数学表示

Multinoulli分布的概率公式：

• 结果有 K 种，记为 {1, 2, ..., K}。

• 每个结果的概率为 （满足 ）。

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4. 机器学习的例子（Python）

假设你有一个图片分类模型，预测一张图片是 猫、狗、鸟 的概率分别为 [0.5, 0.3, 0.2]。用代码模拟这个分布：

import numpy as np# 定义类别和概率
categories = ["猫", "狗", "鸟"]
probs = [0.5, 0.3, 0.2]# 从Multinoulli分布采样一次
result = np.random.choice(categories, p=probs)
print("模型预测结果:", result)

运行结果可能是 猫、狗 或 鸟，多次运行会接近设定的概率比例。

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5. 实际应用场景

• 多分类问题（如手写数字识别、垃圾邮件分类）

• 生成模型（如生成文本或图像时选择下一个词/像素）

• 强化学习（如选择动作“左、右、跳”）

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6. 和Multinomial分布的区别

• Multinoulli：单次试验的多类别结果（如掷一次骰子）。

• Multinomial：多次独立的Multinoulli试验（如掷多次骰子，统计各面次数）。