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🌟 为什么极坐标下的“小扇形”面积是 $r\Delta r\Delta \theta$？

在极坐标 $(r,\theta )$ 下，一个微小的区域（“小扇形”）的面积并不是简单的 $\Delta r\Delta \theta$，而是 $r\Delta r\Delta \theta$。这个额外的 $r$ 因子来自于极坐标的几何性质，下面我们详细解释。

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1. 极坐标的面积微元推导

在直角坐标系 $(x,y)$ 下，面积微元是 $dxdy$，但在极坐标下，我们需要重新计算面积微元。

(1) 极坐标与直角坐标的关系

极坐标 $(r,\theta )$ 和直角坐标 $(x,y)$ 的转换关系为：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

(2) 极坐标下的“小扇形”

考虑一个极坐标微元：

• 径向变化 $\Delta r$：从 $r$ 到 $r+\Delta r$；
• 角度变化 $\Delta \theta$：从 $\theta$ 到 $\theta +\Delta \theta$。

这个微元近似于一个小扇形（严格来说，当 $\Delta r\to 0$、$\Delta \theta \to 0$ 时，它是一个扇形）。

(3) 计算小扇形的面积

1. 内半径 $r$，外半径 $r+\Delta r$：

   • 内弧长 $=r\Delta \theta$；
   • 外弧长 $=(r+\Delta r)\Delta \theta$。

2. 扇形的面积公式：

   扇形的面积可以近似看作一个梯形（因为 $\Delta r$ 很小）：

   $$\text{面积}\approx \text{平均弧长}\times \text{径向宽度}=\left(\frac{r\Delta \theta +(r+\Delta r)\Delta \theta }{2}\right)\Delta r$$

   化简后：

   $$\text{面积}\approx \left(r+\frac{\Delta r}{2}\right)\Delta \theta \Delta r$$

   当 $\Delta r\to 0$，高阶小项 $\frac{\Delta r}{2}\Delta \theta \Delta r$ 可以忽略，因此：

   $$\text{面积}\approx r\Delta r\Delta \theta$$

3. 极限情况（微积分）：

   当 $\Delta r\to 0$、$\Delta \theta \to 0$，这个近似越来越精确，最终：

   $$dA=rdrd\theta$$

   这就是极坐标下的面积微元。

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2. 直观理解：为什么会有 $r$ 因子？

• 在直角坐标系中，$dxdy$ 代表一个小矩形，其面积就是 $\Delta x\Delta y$。

• 但在极坐标中：

  • 靠近原点（$r$ 小）：相同的 $\Delta \theta$ 对应的弧长较短，面积较小；
  • 远离原点（$r$ 大）：相同的 $\Delta \theta$ 对应的弧长较长，面积较大。

因此，面积微元必须包含 $r$，以反映距离原点越远，相同 $\Delta r\Delta \theta$ 覆盖的实际面积越大。

几何解释：

想象一个圆环（半径 $r$，厚度 $\Delta r$），其面积是 $2\pi r\Delta r$（周长 × 厚度）。

如果只取一个小扇形（角度 $\Delta \theta$），则面积为：

$$\text{面积}=\left(\frac{\Delta \theta }{2\pi }\right)\times 2\pi r\Delta r=r\Delta r\Delta \theta$$

这就是 $rdrd\theta$ 的来源。

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3. 数学严格推导：Jacobian 行列式

更严格的数学方法是通过 Jacobian 行列式 进行坐标变换：

(1) 极坐标变换的 Jacobian

从 $(x,y)$ 到 $(r,\theta )$ 的变换的 Jacobian 矩阵为：

$$J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]$$

(2) Jacobian 行列式计算

$$|J|=\det (J)=\cos \theta \cdot r\cos \theta -(-r\sin \theta )\cdot \sin \theta =r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$$

(3) 面积微元的变换

根据变量替换公式：

$$dxdy=|J|drd\theta =rdrd\theta$$

因此，极坐标下的面积微元确实是 $rdrd\theta$。

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• 极坐标下的面积微元是 $rdrd\theta$，而不是简单的 $drd\theta$。

• 原因：

  1. 几何直观：离原点越远，相同 $\Delta r\Delta \theta$ 覆盖的实际面积越大，需要乘以 $r$ 修正；
  2. 数学推导：通过 Jacobian 行列式，坐标变换引入 $r$ 因子。

• 这个 $r$ 使得极坐标下的积分计算更加准确，特别是在处理圆形、扇形等对称区域时。

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