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前言

本文不讲解线段树的基础理论，而是讲解线段树的应用，如线段树优化 DP，扫描线。如有问题欢迎指出。

线段树优化 DP

有的时候，DP 的转移方程的复杂度很高，线段树优化可以将其优化。

以最长上升子序列为例，转移式为：
f i = max ⁡ j = 1 i − 1 { f j } ( a j < a i ) + 1 f_i = \max_{j = 1}^{i - 1} \{f_j\}(a_j < a_i) + 1 fi​=j=1maxi−1​{fj​}(aj​<ai​)+1
直接朴素做是 $O(n^2)$ 的，我们考虑如何优化。

我们发现，转移相当于在之前求的所有 $f$ 中找到 $1\le a_j\le a_i-1$ 的 $f_j$ 的最大值。于是就相当于我们在求完 $f_i$ 后就把 $f_i$ 插到 $a_i$ 位置。计算状态时查询 $1$ ~ $a_i$ 的最小值。发现可以使用线段树维护区间 $min$，$O(\log (n))$ 插入和删除，整个 DP 优化至 $O(n\log (n))$。

这是一个例子。有两种种较为经典的线段树优化 DP 类型：

1. 对状态有增加同时有关 $i$ 和 $j$ 的权值。
2. 对状态的转移有限制。

什么意思呢？我们一个一个看。

类型 1

CF1527E - Partition Game。
很容易写出状态转移方程：
$$f_{i,j}=mi{n}_{k<i}{f}_{k,j-1}+las{t}_{k+1,i}-firs{t}_{k+1,i}$$
靠虑如何优化。

发现转移没有限制，但是转移中 $last$ 和 $first$ 无法直接拆开，可以用线段树维护每一个位置当前 $i$ 下每个 $j$ 的值。
考虑每加入一个数，$last$ 和 $first$ 有什么变化。
先看 $first$。找出上一个 $a_p=a_i$ 的下标 $p$。对于所有 $\le p$ 的下标 $j$，已经有了第一次出现的位置，无需更改；对于所有 $>p$ 的下标 $k$，第一次出现的位置就是 $i$，因此将 $[p+1,i-1]$ 加上 $i$。
再看 $last$。同样找出上一个 $a_p=a_i$ 的下标 $p$。对于所有 $\le p$ 的下标 $j$，已经记录的 $p$，而应为 $i$，所以将 $[1,p-1]$ 先减去 $p$ 再加上 $i$；对于所有 $>p$ 的下标 $k$，最后一次出现的位置就是 $i$，将 $[p+1,i-1]$ 加上 $i$。
查询时直接查询 $[1,i-1]$ 的最大值即可。

区间加区间最大值可以用线段树维护，时间复杂度 $O(kn\log (n))$。

对于第 1 种情况，用线段树直接维护转移值即可。

类型 2

最长上升子序列就是一个很好的例子。

将权值作为下标，DP 数组作为权值插入线段树，查询一个区间的值。

一些特殊的线段树优化 DP 类型

有一些 DP 很神奇。

类型 3

CF675E - Trains and Statistic。

设 $f_i$ 为所有点到 $i$ 的最小费用之和。发现每次走到当前路线终点，再找到能走的 $a$ 最大的路线继续走，设新走的路线编号为 $k$ 则：
$$f_i=f_k+(k-i)+(n-a_i)$$

找到 $k$ 相当于在 $[i+1,a_i]$ 中找最大的 $k$，线段树即可，时间复杂度 $O(n\log (n))$。

本题需要线段树优化 DP，但是线段树和 DP 之间没有过多的联系，只是分开的两步。

类型 4

[NOI1998] 免费的馅饼。

首先按照 $t$ 排序，得到转移方程：
$$f_i=\max (\underset{p_i<p_j,2t_i-2t_j\ge p_j-p_i}{\max }{f}_j,\underset{p_i>p_j,2t_i-2t_j\ge p_i-p_j}{\max }{f}_j)+a_i$$
由于两部分相似，所以我们先只考虑第一部分，第二部分类似：
$$f_i=\underset{p_i<p_j,2t_i-2t_j\ge p_j-p_i}{\max }{f}_j+a_i$$
$$f_i=\underset{p_i<p_j,2t_i+p_i\ge 2t_j+p_j}{\max }{f}_j+a_i$$
然后发现有两个限制，线段树只能满足一个限制，又观察发现算上排序处理的限制一共三个限制只有两个变量，因此考虑是否有多余的限制。先把限制列出来：

1. $t_i>t_j$
2. $p_i<p_j$
3. $2t_i+p_i\ge 2t_j+p_j$

发现 1 和 2 不能推出 3。
然后就不会了。

再进行观察，我们惊奇的发现：2 和 3 能推出 1!
于是按照 2 和 3 中的任意一个排序，另一个线段树搞即可。

练习题

[USACO12OPEN] Bookshelf G
CF1304F2 - Animal Observation (hard version)

扫描线

一个线段树应用的大点，你可以把它理解为从前往后扫，具体扫什么后面会讲。

例题讲解

[SDOI2009] HH的项链
经典扫描线题。

$i$ 从 $1$ 到 $n$ 扫。一个神仙操作是，开一个线段树，每个位置表示当前位当前颜色是不是到 $i$ 时的最后一个当前颜色。将查询按右端点排序，查询时先让 $i$ 扫到右端点，然后查询区间和就可以了。
为什么，因为每个位置都是最后一个位置，如果某个颜色算进去，那么由于记录的是最后一个，区间内只有一次，所以不会算重；如果不算进去说明最后一个次颜色在区间前，正常也没有这个颜色。

练习题

P4113 [HEOI2012]采花
P8868 [NOIP2022] 比赛

一些奇妙 trick（不详细讲解）

P5459 [BJOI2016] 回转寿司: 区间和转前缀和。
[ABC342G] Retroactive Range Chmax: 每个区间维护一个 set。
P4588 [TJOI2018] 数学计算: 逆元用不了就使用线段树。