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车辆路径问题（VRP）分支定价算法中的分支策略

在分支定价算法（Branch-and-Price）中，分支策略的设计直接影响求解效率和最终解的整数性。本文介绍VRP中常用的分支策略，涵盖其核心思想、分支方式及适用场景。策略名称以**中文（英文）**形式标注，符合学术论文常用术语。

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一、常用分支策略

1. 路径变量分支（Path-Based Branching）

• 核心思想：直接对路径变量 $y_r$（表示是否选择路径 $r$）进行分支。
• 分支方式：
  • 左节点：强制使用路径 $r$，即 $y_r=1$。
  • 右节点：禁止使用路径 $r$，即 $y_r=0$。
• 适用场景：路径变量规模较小时（如小规模VRP）。
• 注意事项：路径爆炸问题可能导致右节点难以处理。

2. 边分支（Edge/Arc Branching）

• 核心思想：对边（弧）$(i,j)$ 的使用次数进行约束。
• 分支方式：
  • 左节点：强制使用边 $(i,j)$，即 $x_{ij}\ge 1$。
  • 右节点：禁止使用边 $(i,j)$，即 $x_{ij}=0$。
• 适用场景：对称性较强的VRP（如对称CVRP）。
• 注意事项：可能破坏动态规划子问题的结构。

3. 资源约束分支（Resource Constraint Branching）

• 核心思想：根据资源变量（时间、载重等）的分数值分割解空间。
• 分支方式（以时间窗为例）：
  • 左节点：客户 $i$ 的服务时间 $t_i\le k$。
  • 右节点：客户 $i$ 的服务时间 $t_i\ge k+1$。
• 适用场景：带时间窗的VRP（VRPTW）或容量约束严格的问题。
• 注意事项：需确保子问题的资源约束仍可高效计算。

4. 客户顺序分支（Customer Order Branching）

• 核心思想：强制两个客户 $i$ 和 $j$ 的访问顺序。
• 分支方式：
  • 左节点：客户 $i$ 必须在 $j$ 之前访问。
  • 右节点：客户 $j$ 必须在 $i$ 之前访问。
• 适用场景：存在优先级约束或需打破对称性的VRP。

5. 客户-车辆分配分支（Customer-Vehicle Assignment Branching）

• 核心思想：约束客户与车辆的分配关系。
• 分支方式：
  • 左节点：客户 $i$ 必须由车辆 $k$ 服务。
  • 右节点：客户 $i$ 禁止由车辆 $k$ 服务。
• 适用场景：异构车队问题（HFVRP）或负载均衡场景。

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二、其他分支策略

6. 集合划分分支（Set Partitioning Branching）

• 核心思想：将客户集合划分为子集，约束其服务车辆。
• 分支方式：
  • 左节点：子集 $S_1$ 必须由同一辆车服务。
  • 右节点：子集 $S_1$ 必须由多辆车服务。
• 适用场景：大规模客户集或需分解复杂路径的问题。

7. 弧频率分支（Branch on Arc Frequency）

• 核心思想：限制弧 $(i,j)$ 的跨路径重复使用次数（针对允许不同车辆共享同一路段的问题）。
• 分支方式：
  • 左节点：$x_{ij}\le k$（例如 $k=\lfloor x_{ij}^{\ast }\rfloor$）。
  • 右节点：$x_{ij}\ge k+1$。
• 适用场景：需求可拆分的VRP（SDVRP）中，同一物理路段可能被多辆车辆使用，或车辆需多次经过同一路段完成多趟运输。

8. 顶点频率分支（Branch on Vertex Frequency）

• 核心思想：限制客户 $i$ 的单点服务频次（针对单客户需求需分多次独立访问完成的问题）。
• 分支方式：
  • 左节点：客户 $i$ 的总访问次数 $\le k$（例如 $k=\lfloor \text{当前解访问次数}\rfloor$）。
  • 右节点：客户 $i$ 的总访问次数 $\ge k+1$。
• 适用场景：需求拆分的VRP（SDVRP）或客户需要周期性回访的VRP（如垃圾回收场景）。

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三、分支策略选择原则

1. 匹配问题特性：例如，SDVRP优先考虑弧/顶点频率分支，VRPTW使用资源约束分支。
2. 子问题兼容性：避免破坏定价子问题（如ESPPRC）的结构。
3. 平衡分割效果：选择能显著减少解空间且易于处理的分支方向。

通过合理选择分支策略，分支定价算法能够高效逼近整数最优解，同时应对各类复杂约束的VRP变体。实际应用中常需结合多种策略，以平衡计算复杂度和求解质量。