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文章目录
- 第二节 微积分基本公式
- 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
- 二、积分上限的函数及其导数
- 三、牛顿-莱布尼茨公式
- 习题 5-2
第二节 微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
物体在时间间隔 [ T 1 , T 2 ] [T_1,T_2] [T1,T2] 内经过的路程可以用速度函数 v ( t ) v(t) v(t) 在 [ T 1 , T 2 ] [T_1,T_2] [T1,T2] 上的定积分表示： ∫ T 1 T 2 v ( t ) d t \int_{T_1}^{T_2}v(t)\text{d}t ∫T1T2v(t)dt
二、积分上限的函数及其导数
\quad 定理1 \quad 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，那么积分上限的函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . \varPhi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t. Φ(x)=∫axf(t)dt.在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可导，并且它的导数 Φ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) . \varPhi'(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_a^xf(t)\text{d}t=f(x)\quad(a\le x\le b). Φ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)(a≤x≤b).
\quad 定理2 \quad 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续，那么函数 Φ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \varPhi(x)=\int_a^xf(t)\text{d}t Φ(x)=∫axf(t)dt就是 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的一个原函数.
三、牛顿-莱布尼茨公式
\quad 定理3(微积分基本定理)——如果函数 F ( x ) F(x) F(x) 是连续函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的一个原函数，那么 ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . \int_a^bf(x)\text{d}x=F(b)-F(a). ∫abf(x)dx=F(b)−F(a).这个公式叫做牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式.