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本文是记录专业课“程序语言理论与编译技术”的部分笔记。
LECTURE 19（实现一个解释器）
一、Evaluation
1、Evaluation是继续简化抽象语法树（AST）的过程，直到它只是一个值（value）。换句话说，它是语言动态语义的实现。Evaluator使表达式一次采取一个step来简化自己，经过多个step后，表达式最终将成为一个值。我们称这种策略为small-step或single-step，因为我们每次只走一步。
2、这是简单数学表达式的BNF语法：
我们据此建立以下步骤规则（--> 表示单步）：
（1）常量：常量（在本例即整数）已经是值，因此我们不能再对它们进行step。
（2）二元运算符：二元运算符形如e1 bop e2 ，有两个子表达式e1和e2。由于e1和e2也可以是值，我们需要考虑三种不同的情况：
注意，我们建立这些规则是基于e1和e2是steppable的，这对于操作 + * / 是正确的。反之，如果不是这种情况，那么e1或e2应该是一个值，并被早期规则consume掉。这里的规则 I 代表原始操作处理，这与 II 和 III 略有不同，表明我们不仅需要语法，还需要语义来进行一些“计算”。
有趣的是，e1 bop v2 --> e1' bop v2 表示当我们对整个表达式进行step时，我们实际上是递归地对e1进行step。而我们不考虑得e1 bop v2 --> e1' bop v2，实际上包含在 III 中。
3、现在，让我们在自己的解释器中实现single-step。首先，我们需要一个函数来检查一个表达式是否已经是一个值，因为我们不能对值进行step。或者我们也可以说，这个函数是用于检查一个表达式是否是steppable的：
4、接下来，让我们实现small-step的规则。由于我们需要递归地对表达式进行步骤，我们需要一个递归函数。此外，鉴于规则 II 和 III 只需要语法，而规则 I 还需要语义。因此，我们需要一个特殊的step函数：
5、最后，我们需要用一个eval和一个interp函数将它们连接起来。
至此，我们已经完成了一个用于数学表达式的小解释器。不过这里，由于我们只有整数，所以到目前为止我们不需要类型检查和类型推断。
6、不过，你可能注意到我们一直只提及single-step或small-step，那么有没有big-step呢？有的兄弟，有的。让我们先给一个定义：
请注意，两种step都有其重要性：小步语义在建模复杂语言特性时往往更容易处理，而大步语义则更类似于解释器的实际实现方式。
7、现在，让我们为大步建立规则：
（1）常量：常量big-step到它们自己：i ==> i
（2）二元运算符：二元运算符只big-step其两个子表达式，然后应用原始运算符：e1 bop e2 ==> v 如果 e1 ==> v1 和 e2 ==> v2 并且 v 是原始操作 v1 bop v2 的结果。
8、接下来，我们可以实现函数eval_big和eval_bop ，前者进行大步Evaluation，而后者进行与语义相关的Binop的big-step。当然，它们使用一个interp_big函数来相互连接：
二、SimPL Interpreter
1、作为一个例子，我们将使用一种非常简单的编程语言，即SimPL它的BNF语法如下图。你可以在https://github.com/AugustineYang/OCaml-Interpreter中找到SimPL Interpreter – Dev-Ready，这是一个可以用于学习补充的半成品代码。Interpreter是解释器的意思。
为了简单起见，我们只考虑SimPL支持以下三种结构：
（1）值：整数、布尔值和标识符（由英文字母组成）。
（2）二元运算符：+（加）、*（乘）和 <=（小于等于）。
（3）语句：let 语句和 if 语句。
在实践中，我们需要补充其代码，让其至少能识别、分析诸如 let x = 3110 in x + x和 if x <= 3 then true else false的语句。
2、你为 if 表达式设计的小步规则应该是这样的：
注意，规则 III 表明 e1 是steppable的。如果不是，那么它应该是 true 或 false，并且应该已经被规则 I 或规则 II consume掉。下图是应该在小步函数中添加的内容，你也可以在这里增加代码以进行类型检查：
你需要在函数 is_value 中添加一些检查，以便处理布尔值和 if 表达式：
此外，我们还需要在函数 step_binop 中为 “ <= ” 操作符添加一个step规则：
3、你为 if 表达式设计的大步规则应该是这样的：
下图是应该在大步函数中添加的内容。如果你愿意，也可以在这里进行类型检查。此外，也不要忘记布尔值和" <= "的处理：
到目前为止，我们的Evaluator已经能够解释没有变量的简单 if 表达式了，其完整代码可在之前给的github仓库中找到。但当我们来看 let 表达式，发现我们必须处理变量的问题。这，就涉及到了一个新的问题，替换（Substitution）。
三、Substitution
1、Substitution是用相应的值或计算形式替换变量或表达式的过程。这是处理变量绑定、函数应用或宏扩展的基本机制。我们需要引入一个新的符号 e' { e / x } ，意思是在表达式 e' 中用 e 来替换 x。直观上，在 x 出现在 e' 的任何地方，我们都应该用 e 来替换 x。例如：
2、现在，我们可以为 let 表达式制定small-step规则：
请记住，如果规则 II 中的 e1 不是一个steppable的表达式，那么 let 表达式应该已经被规则 I consume掉。这就是我们可以安全地step e1 的原因。上述规则还说明了一个事实，x 作为一个变量，不是一个值，并且也是unsteppable的。如果我们试图step一个变量而不是对其进行替代，这意味着该变量是未绑定的（即，之前没有被适当的替代消耗），在这种情况下应该引发错误。就像这段简单的 OCaml 代码一样：
当然了，这实际上是一个类型检查错误。我们可以暂时不考虑错误类型，只在Evaluator尝试step一个变量时，这里引发错误。
此外，我们也可以为 let 表达式制定一些big-step规则：
3、现在我们已经通过 let 表达式在 SimPL 中引入了替换。让我们看看应该如何在 let x = v1 in e2 > e2 { v1 / x } 中处理 e2 { v1 / x } 。换言之，我们可以给出 SimPL 表达式的替换的仔细定义了：
（1）常量：整数和布尔值中没有出现变量，因此替换不会改变它们：
（2）变量：要么我们遇到相同的变量 x，这意味着我们应该进行替换，要么我们遇到其他不同名称的变量，比如 y，简单地，在这种情况下我们就不应该进行替换：
（3）二元运算符：我们应该在子表达式内部，递归地进行替换：
（4） if 表达式：我们应该像对待二元运算符一样在内部递归：
（5） let 表达式：对于这种情况，假设我们有两个更复杂的情况：
这里还有一些额外的例子，帮助你更好地理解在 let 表达式上的替换：
四、Lambda Calculus Interpreter
1、考虑一个语法如下图：
眼熟吗？这个语法正是 lambda 计算。它只有三种表达式：变量、函数应用和匿名函数，其中唯一的值是匿名函数。虽然这个语法甚至没有类型，但它可以表达任何可计算的函数。现在，让我们在我们的解释器中添加对 lambda 计算语法的支持。
2、有几种方法可以为 lambda 演算定义Evaluation语义。下图是一个与OCaml非常接近的规则：
记得吗？这是之前笔记中涵盖的按值调用（call-by-value）语义，它要求在应用函数之前将参数reduce为值。当然，我们也可以尝试定义按名调用（call-by-name）的语义，在按名调用语义中，e2 不必reduce到值。如果 e2 的值从未被需要，这可以带来很大的效率：
3、现在我们需要为 lambda 演算定义替换操作。我们可以做一个适用于按名称调用或按值调用的定义。受到 SimPL 替换的启发，制定这些规则应该没有太大困难。以下是我们定义的开始：
那么函数呢？在 SimPL 中，当我们遇到同名的有界变量时停止替换；否则，我们继续。在 lambda 演算中，或许我们也可以这样做：
4、不过，这真的正确吗？让我们考虑下图这两个表达式，它们都应该忽略参数并返回 x（即，分配给 x 的值）：
我们可以看到，表达式 I 忽略参数并返回 z，它绑定到 x，结果是正确的。而表达式 II 变成了一个标识函数，该函数返回传来的值，而不是 x 的值，显然，结果出了点问题。
这里，我们需要重新考虑第二个例子。这一次，我们用不同的颜色给不同的 z 上色：
我们发现蓝色的 z 消失了，这正是错误的源头。实际上，这种 z 的消失被称为捕获。破损的替换捕获了 z，并使其与 z 成为同一个变量。它破坏了变量的作用域。这就是替换未能完成其工作的原因。因此，我们需要增强我们的替换以避免捕获的发生：
