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多弹协同末制导律设计

摘要

本文针对多弹协同任务中的导弹末制导问题，提出了一种基于相对运动模型的末制导律设计方法。该方法在传统比例导航制导基础上引入多弹协同修正因子，以确保各导弹在终端拦截过程中既能保持对目标的精准跟踪，又能协调避免相互干扰。文中详细推导了视线角变化率、传统比例导航制导律以及多弹协同修正部分的数学模型。

关键词

多弹协同；末制导律；比例导航；相对运动模型；协同控制

1. 引言

随着作战环境的复杂化和目标机动能力的提升，单枚导弹作战逐渐向多弹协同作战转变。传统的末制导律如比例导航（Proportional Navigation, PNG）在单弹拦截中虽然成熟，但在多弹协同场景下，导弹间可能出现交叉干扰和碰撞风险。因此，如何在保留单兵制导优点的基础上，实现导弹之间的有效协同与避碰，成为一个亟待解决的技术难题。本文基于相对运动模型，提出一种改进的多弹协同末制导律，并针对视线角及其变化率进行了细致的公式推导。

2. 系统模型与基本假设

考虑一枚导弹与目标之间的相对运动，设导弹位置为 ${\mathbf{P}}_m=[x_m,y_m,z_m{]}^T$，目标位置为 ${\mathbf{P}}_t=[x_t,y_t,z_t{]}^T$。在末制导阶段，假设目标与导弹主要在平面内运动，可忽略高度（$z$方向）的变化，则相对位置向量可写为：
$$\mathbf{R}={\mathbf{P}}_t-{\mathbf{P}}_m=[R_x,R_y{]}^T.$$

导弹与目标的速度分别记为 ${\mathbf{v}}_m=[v_{m,x},v_{m,y}{]}^T$ 和 ${\mathbf{v}}_t=[v_{t,x},v_{t,y}{]}^T$，它们的相对速度为：
$${\mathbf{v}}_{rel}={\mathbf{v}}_t-{\mathbf{v}}_m.$$

3. 导弹末制导律设计

3.1 视线角及其变化率的推导

定义导弹与目标之间的视线角 $\lambda$：
$$\lambda =\arctan \left(\frac{R_y}{R_x}\right).$$
对 $\lambda$ 关于时间求导，应用链式法则可得视线角的变化率：
$$\dot{\lambda }=\frac{R_x{\dot{R}}_y-R_y{\dot{R}}_x}{R_x^2+R_y^2}.$$
其中，${\dot{R}}_x$ 和 ${\dot{R}}_y$ 分别为相对距离分量的时间导数，有
$${\dot{R}}_x=v_{t,x}-v_{m,x},{\dot{R}}_y=v_{t,y}-v_{m,y}.$$

3.2 传统比例导航制导律（PNG）

传统PNG制导律提出，加速度指令与视线角变化率成正比：
$$a_{PNG}=N{V}_m\dot{\lambda },$$
其中：

• $N$ 为比例导航增益；
• $V_m=\Vert {\mathbf{v}}_m\Vert$ 为导弹的速度大小。

3.3 多弹协同修正设计

在多弹协同作战中，除了单弹制导要求外，还需要考虑导弹间的协同配合与避碰，防止拦截过程中出现交叉干扰。为此，设计引入协同修正因子。假设系统共有 $k$ 枚导弹，对第 $i$ 枚导弹，定义协同因子 ${\alpha }_i$ 为：
$${\alpha }_i=1+\beta \sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^k\frac{1}{d_{ij}},$$
其中：

• $d_{ij}=\Vert {\mathbf{P}}_{m_i}-{\mathbf{P}}_{m_j}\Vert$ 表示导弹 $i$ 与导弹 $j$ 的距离；
• $\beta$ 为用于调节协同影响程度的正系数。

为了引入导弹间的斥力作用，定义修正斥力项：
$$f_{rep}=K\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^k\frac{{\mathbf{P}}_{m_i}-{\mathbf{P}}_{m_j}}{d_{ij}^2},$$
其中 $K$ 为常数，用于确定斥力大小。

因此，导弹 $i$ 的最终加速度指令可写为：
$$a_{c_i}=N{V}_{m_i}\dot{{\lambda }_i}+{\alpha }_i\cdot f_{rep}.$$

3.4 制导律完整推导过程

综合上述分析，设计流程如下：

1. 计算相对距离与视线角：
   导弹与目标的相对位置：
   $$\mathbf{R}=[R_x,R_y{]}^T={\mathbf{P}}_t-{\mathbf{P}}_m,$$
   并计算视线角：
   $$\lambda =\arctan \left(\frac{R_y}{R_x}\right).$$

2. 求解视线角变化率：
   利用导弹和目标速度分量：
   $$\dot{\lambda }=\frac{R_x(v_{t,y}-v_{m,y})-R_y(v_{t,x}-v_{m,x})}{R_x^2+R_y^2}.$$

3. 基础加速度指令（PNG）：
   按照传统PNG制导律，得基础加速度指令：
   $$a_{PNG}=N{V}_m\dot{\lambda }.$$

4. 计算协同修正因子：
   对于多弹系统，引入协同因子：
   $${\alpha }_i=1+\beta \sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^k\frac{1}{\Vert {\mathbf{P}}_{m_i}-{\mathbf{P}}_{m_j}\Vert }.$$

5. 计算斥力修正项：
   定义导弹间的斥力：
   $$f_{rep}=K\sum _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^k\frac{{\mathbf{P}}_{m_i}-{\mathbf{P}}_{m_j}}{\Vert {\mathbf{P}}_{m_i}-{\mathbf{P}}_{m_j}{\Vert }^2}.$$

6. 综合得最终加速度指令：
   最终对第 $i$ 枚导弹，修正后的加速度指令为：
   $$a_{c_i}=N{V}_{m_i}\dot{{\lambda }_i}+{\alpha }_i\cdot f_{rep}.$$

该制导律在保证单导弹末制导精度的基础上，通过协同修正有助于实现多导弹间的避碰与协同拦截。