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一、快速幂运算

快速幂运算（Exponentiation by Squaring）

快速幂运算是一种高效计算 ( b^e ) 的算法，其中 ( b ) 是基数，( e ) 是指数。传统的逐步乘法方法的时间复杂度为 ( O(e) )，而快速幂运算的时间复杂度为 ( O(\log e) )，因此在处理大数时特别有效。

基本思想

快速幂运算的基本思想是利用平方和乘法来减少乘法的次数。其主要依据是：

• 如果指数 ( e ) 为偶数，则 ( b^e = (b^{e/2})2 )
• 如果指数 ( e ) 为奇数，则 ( b^e = b \times b^{e-1} )

通过这种方式，可以在每次迭代中将指数减半，从而显著降低计算时间。

算法实现（②③为非递归）

以下是使用 JavaScript 实现的快速幂运算的代码：

① 递归运算

/**  不带模数* 快速幂运算* @param {number} base - 基数* @param {number} exp - 指数* @returns {number} */
function quickPow(base, exp) {if (exp === 0) {return 1; // 任何数的零次方为 1}if (exp % 2 === 0) {const half = quickPow(base, exp / 2);return half * half;} else {return base * quickPow(base, exp - 1);}
}

② 普通 除模运算（不带 模数 与 带 模数）

/** 不带模数* 快速幂运算* @param {number} a- 基数* @param {number} b- 指数* @returns {number} 计算结果 (a ^ b)*/
function quick (a, b) {let ans = 1while(b) { // 当指数存在的时候// 如果指数是奇数，则要先拉出来一个底数乘到最终结果上，其余步骤和偶数一样操作// 如果指数是偶数，则要底数平方，指数除以2（如果是使用按位与运算，则使用 "b >>= 1"）b/2if(b % 2 === 1) ans *= aa *= ab = Math.floor(b / 2) // 注意一定要使用Math.floor()，否则会出现小数点，导致结束循环}return ans
}
console.log(quick(2, 7)) // 128/**  带模数* 快速幂运算* @param {number} base - 基数* @param {number} exp - 指数* @param {number} mod - 模数* @returns {number} 计算结果 (base^exp) % mod*/
const modExp = (base, exp, mod) => {let result = 1; // 初始化结果为 1base = base % mod; // 将基数在模数下取值while (exp > 0) {// 如果 exp 为奇数，将当前的 base 乘入结果if (exp % 2 === 1)  result = (result * base) % mod;// 将 base 平方base = (base * base) % mod;// exp 右移，相当于整除 2exp = Math.floor(exp / 2);}return result; // 返回最终结果
}

③ 按位与运算

/** 不带模数* 快速幂运算* @param {number} a- 基数* @param {number} b- 指数* @returns {number} 计算结果 (a ^ b)*
function quick2 (a, b) {let ans = 1while(b) { // 当指数存在的时候// 如果指数是奇数，则要先拉出来一个底数乘到最终结果上，其余步骤和偶数一样操作// 如果指数是偶数，则要底数平方，指数除以2（如果是使用按位与运算，则使用 "b >>= 1"）b/2if(b & 1) ans *= aa *= ab >>= 1 // b右移一位}return ans
}
console.log(quick2(2, 8)) // 256

使用示例

快速幂运算可以用于很多应用场景，包括计算大数的幂、加密算法、以及任何需要快速计算大数时。

示例代码

const MOD = 10 ** 9 + 7; // 定义模数console.log(modExp(2, 10, MOD)); // 输出: 1024
console.log(modExp(5, 3, MOD));  // 输出: 125
console.log(modExp(3, 7, MOD));  // 输出: 2187
console.log(modExp(10, 9, MOD)); // 输出: 1000000000

复杂度分析

• 时间复杂度: ( O(log e) ) — 每次操作将指数减半。
• 空间复杂度: ( O(1) ) — 仅使用常量级额外空间。

小结论

快速幂运算是一个非常实用且高效的算法，广泛应用于计算大数的幂以及各种算法中。了解并实现该算法可以显著提高程序运行效率，特别是在处理与模数运算相关的问题时。

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