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1. 决策树基本原理

1.1. 什么是决策树？

决策树（Decision Tree）是一种非参数的监督学习算法，适用于分类和回归任务。其核心思想是通过一系列规则（if-then结构）对数据进行递归划分，最终形成一棵树形结构，实现预测或分类。

1.2. 决策树的基本构成：

• 根节点（Root Node）：代表整个数据集，选择第一个最优特征进行分裂。
• 内部节点（Internal Nodes）：代表对某个特征的判断，用来决定如何分裂数据。
• 叶子节点（Leaf Nodes）：存放最终的预测结果，表示分类或回归结果。

1.3. 核心思想

• 目标：构建一棵树，使得每个分支节点代表一个特征判断，每个叶子节点代表一个预测结果。
• 关键问题：
  • 如何选择划分特征？（特征选择准则）
  • 何时停止划分？（防止过拟合）

2. 决策树的构建过程

决策树的构建是一个递归分割（Recursive Partitioning）的过程

2.1. 特征选择

选择最佳特征：在每一步分裂中，算法会选择一个最优的特征来进行数据划分。

常用的准则：

• 信息增益（Information Gain, ID3算法）
• 信息增益比（Gain Ratio, C4.5算法）
• 基尼不纯度（Gini Impurity, CART算法）
• 均方误差（MSE, 回归树）

2.1.1. 信息增益（ID3）

• 衡量使用某特征划分后信息不确定性减少的程度。

• 计算公式：$$信息增益=H(D)-H(D\mid A)$$

  • H(D)：数据集的熵（不确定性）。
  • H(D∣A)：在特征 A划分后的条件熵。

2.1.2. 基尼不纯度（CART）

• 衡量数据集的不纯度，越小越好，表示数据集越纯。

• 计算公式：
  $$\text{Gini}(D)=1-\sum _{k=1}^K{p}_k^2$$

  • $p_k$ ：数据集中第 $k$ 类样本的比例。

2.1.3. 均方误差（MSE）

• 用于回归问题，计算预测值与真实值的差异。

• 计算公式： $$MSE=\frac{1}{n}\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$

  • $y_i$是实际值，${\hat{y}}_i$ 是预测值。

2.2. 节点划分

• 分类任务：选择使信息增益最大（或基尼不纯度最小）的特征进行划分。
• 回归任务：选择使均方误差（MSE）最小的特征进行划分。

2.3. 停止条件：

• 当前节点所有样本属于同一类别（纯度100%）。
• 所有特征已用完，或继续划分无法显著降低不纯度。
• 达到预设的最大深度（max_depth）或最小样本数（min_samples_split）。

3. 决策树的剪枝（防止过拟合）

决策树容易过拟合（训练集表现好，测试集差）。为了防止过拟合，我们通常会使用剪枝技术。

• 预剪枝（Pre-pruning）：在训练时提前停止（如限制树深度）。

• 后剪枝（Post-pruning）：先训练完整树，再剪掉不重要的分支（如C4.5的REP方法）。

4. 决策树的优缺点

• ✅ 优点
  • 可解释性强：规则清晰，易于可视化（if-then结构）。
  • 无需数据标准化：对数据分布无严格要求。
  • 可处理混合类型数据（数值型+类别型）。
  • 适用于小规模数据。
• ❌ 缺点
  • 容易过拟合（需剪枝或限制树深度）。
  • 对噪声敏感（异常值可能导致树结构不稳定）。
  • 不稳定性：数据微小变化可能导致完全不同的树。
  • 不适合高维稀疏数据（如文本数据）。

5. 常见决策树算法

算法	适用任务	特征选择准则	特点
ID3	分类	信息增益	只能处理离散特征，容易过拟合
C4.5	分类	信息增益比	可处理连续特征，支持剪枝
CART	分类/回归	基尼不纯度（分类） 均方误差（回归）	二叉树结构，Scikit-learn默认实现
CHAID	分类	卡方检验	适用于类别型数据

6. 样例代码：

# 导入必要的库
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.tree import plot_tree# 加载鸢尾花数据集
data = load_iris()
X = data.data
y = data.target# 将数据分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 创建决策树分类器
clf = DecisionTreeClassifier(criterion='gini', max_depth=3, random_state=42)# 训练决策树
clf.fit(X_train, y_train)# 预测测试集
y_pred = clf.predict(X_test)# 输出准确率
print(f"Accuracy: {accuracy_score(y_test, y_pred):.4f}")# 可视化决策树
plt.figure(figsize=(12, 8))
plot_tree(clf, filled=True, feature_names=data.feature_names, class_names=data.target_names)
plt.show()

7. 归纳

决策树的核心：递归划分数据，选择最优特征，构建树结构。

• 关键问题：

  • 如何选择划分特征？（信息增益、基尼不纯度）
  • 如何防止过拟合？（剪枝、限制树深度）

• 适用场景：

  • 需要可解释性的任务（如金融风控）。

  • 小规模、低维数据分类/回归