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2025 - 02 - 13 - 第 52 篇
作者(Author): 郑龙浩 / 仟濹(CSND)
【二分搜索】

P1024 一元三次方程求解

题目描述

有形如：$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（$a,b,c,d$ 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间），且根与根之差的绝对值 $\ge 1$。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 $2$ 位。

提示：记方程 $f(x)=0$，若存在 $2$ 个数 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1<x_2$，$f(x_1)\times f(x_2)<0$，则在 $(x_1,x_2)$ 之间一定有一个根。

输入格式

一行，$4$ 个实数 $a,b,c,d$。

输出格式

一行，$3$ 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 $2$ 位。

输入输出样例 #1

输入 #1

1 -5 -4 20

输出 #1

-2.00 2.00 5.00

说明/提示

【题目来源】

NOIP 2001 提高组第一题

思路

首先要分析题目：
判断是否为 “根” 只有两种方法:

**前提：x 是以 1 个单位长度依次递增，而不是2 3 4什么的，就是一个单位长度 **

• f( x ) == 0，x 百分百为 “根”

• left < right 且 f( left ) * f( right ) < 0，在 left 与 right 之间会有一个 x，这个 x 就是根

  为什么要确定 left 与 right 呢？？

  因为 left 与 right 是两个整数，而这两个整数的距离实际上是1，比如 1与2,2与3，然后再确定具体的值1.23, 2.45(随便举例)等

  并且 f( left ) f( right )，一个为 正 一个为负数，中间可定有一个 f( x ) 为 0

  所以确定下来 left, right之后的任务就是：将 x 求出来，如何求？？？

  使用二分算法

  • 范围为 left ~ right

  • 不断 left ~ right / 2 ，直到满足 left < right 且 right - left <= 0.001

    right - left <= 0.001 意思就是: 确定下来这两个数之间的差为三个小数，这样就能将 将结果变为 left 了

    Eg: 最后一层循环:

    left = 1.234
    right = 1.235
    ans = 1.234;
    // 四舍五入: 1.23
    

    当二分法的区间长度缩小到0.001时，取中间值作为近似解，四舍五入到两位小数时误差不会超过0.005。例如，假设真实解在某个区间[left, right]，其中right - left = 0.001。此时中间值mid的误差最大是0.0005，这样在保留两位小数时，结果会是正确的。例如，若真实解是1.2345，而mid是1.234或1.235，四舍五入到两位小数后都是1.23或1.24，但需要确保在两位小数时的正确性。或者，可能作者认为当区间足够小时，可以直接输出区间端点中的某个值，作为近似解。

代码流程

1. 输入系数a, b, c, d。
2. 遍历i从-100到100，每次检查区间[i, i+1]是否存在根。
3. 对于每个i，先检查f(i)是否为0，如果是就直接输出。
4. 如果f(i)*f(i+1) < 0，说明该区间有一个根，调用二分法查找。
5. 二分法在区间内不断缩小区间，直到区间长度小于0.001，然后返回左端点作为近似解。
6. 所有找到的根按顺序输出。

代码

// 洛谷P1024一元三次方程求解
// 2025-02-12
// 郑龙浩 / 仟濹
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
double a, b, c, d;
// 查找 left 与 right 之间的 x
double binary_search_self( double left, double right );
// 计算带入方程结果
double fun( double x );
int main( void ){cin >> a >> b >> c >> d;for( int i = -100; i <= 99; i ++ ){// if fun( i ) 的值 == 0.，就代表 i 就是根// 因为 i 是从小到大判断的，无需sortif ( fun( i ) == 0 ){// 记住： i 要转换成 double 类型，不然 直接 直接用 %f 打印 int ，结果是0// 因为我找了半天错，没找出来，就是这里写错了，要强制类型转换(小细节)printf( "%.2f ", (double)i );}if ( fun( i ) * fun( i + 1 ) < 0 ){ // 确定下来这个根在 i 与 i + 1 间double ans = binary_search_self( i, i + 1 );printf( "%.2f ", ans );}}return 0;
}
// 查找 left 与 right 之间的 x
double binary_search_self( double left, double right ){double middle;while( right - left > 0.001 ){middle = ( left + right ) / 2.0;if( fun( left ) * fun( middle ) < 0 ) right = middle;//说明根在left~mid中 else left = middle;//说明根在mid~right中 }return ( left + right ) / 2;// 精度更高，可以不left - AI 给我提的意见// 第一次写的做法// return left; // 输入left 千万不要right 比如: 1.234,1.235,输出第二个四舍五入的1.24
}
// 计算带入方程结果
double fun( double x ){double ans = a * pow(x, 3) + b * pow(x, 2) + c * x + d;return ans;
}