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本文紧承 3.4. 主成分分析(PCA)理论, 没看过的建议先看。

3.7.1. 一些准备工作

接下来，请你确保你的Python环境中有pandas、matplotlib、scikit-learn和numpy这几个包，如果没有，请在终端输入指令以下载和安装：

pip install pandas matplotlib scikit-learn numpy

Iris数据集在scikit-learn中内置有，不需要额外安装。

3.7.2. 读取数据集

Iris数据集内置在sklearn里了，我们可以通过sklearn来引入：

# 加载Iris数据集  
from sklearn import datasets  
iris = datasets.load_iris()  
X = iris.data  # 4维特征  
y = iris.target  # 目标分类

Iris数据集在 3.5. 决策树实战 中就讲过，这里我再简单介绍一下：

这个数据集总共会有三种共150条记录，每类各50个数据。每条各50个数据，每条记录都有4项特征：

• 花萼长度(Sepal Length)
• 花萼宽度(Sepal Width)
• 花瓣长度(Petal Length)
• 花瓣宽度(Petal Width)

我们会通过花萼和花瓣的这4个特征来对花进行分类：

• iris-setosa（在数据集中的标签是0）
• iris-versicolour（在数据集中的标签是1）
• iris-virginica（在数据集中的标签是2）

以下是Iris数据集里的部分数据：

花萼长度	花萼宽度	花瓣长度	花瓣宽度	属种
5.1	3.5	1.4	0.2	setosa
4.9	3.0	1.4	0.2	setosa
4.7	3.2	1.3	0.2	setosa
4.6	3.1	1.5	0.2	setosa
5.0	3.6	1.4	0.2	setosa
5.4	3.9	1.7	0.4	setosa
4.6	3.4	1.4	0.3	setosa
5.0	3.4	1.5	0.2	setosa

3.7.3. 数据标准化

我先把主成分分析的所有步骤都粘在这里：

• 原始数据预处理：也就是标准化，因为不同维度的量纲不一定一样。我们先把数据进行一次变换，保证均值$\mu =0$, 协方差$\sigma =1$
• 计算协方差矩阵特征向量、及数据在各特征向量投影后的方差
• 根据方差决定哪些维度和哪些维度合并——方差小，相关性大，就能合并。最后降到$k$维
• 选取$k$维特征向量，计算数据在其形成空间的投影

首先就进行标准化，库提供了fit_transform函数来处理：

# 数据标准化  
scaler = StandardScaler()  
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

3.7.4. 数据降维

然后我们通过：

# 进行PCA降维到2维  
pca = PCA(n_components=2)  
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)

• n_components的值可以控制降维后的维度数量
• .fit_transform方法可以进行降维

3.7.5. 降维之后的数据可视化

使用matplotlib进行数据可视化：

# 可视化降维后的数据  
plt.figure(figsize=(8, 6))  
colors = ['red', 'green', 'blue']  
labels = iris.target_names  
for i in range(len(colors)):  plt.scatter(X_pca[y == i, 0], X_pca[y == i, 1], color=colors[i], label=labels[i], alpha=0.7, edgecolors='k')  plt.xlabel('Principal Component 1')  
plt.ylabel('Principal Component 2')  
plt.title('PCA of Iris Dataset')  
plt.legend()  
plt.grid()  
plt.show()

图片输出：

从这幅图中可以看出，降维之后的数据不相关性还是很高的，不同标签的散点还是能够大概分开的。

3.7.6. 组合变量的查看

刚刚表格的两个轴就被替换为了两个组合变量，那我们如何确定是哪两个因子合成了一个轴呢？我们可以查看主成分载荷(Principal Component Loadings)，即PCA的特征向量(Components)。这些载荷表示每个原始特征在主成分上的贡献。

在sklearn中，可以使用pca.components_属性获取：

import pandas as pd# 获取主成分载荷矩阵
loadings = pca.components_# 创建一个DataFrame，查看每个原始特征在新主成分上的权重
feature_names = iris.feature_names
pc_loadings = pd.DataFrame(loadings, columns=feature_names, index=['PC1', 'PC2'])print("Principal Component Loadings:")
print(pc_loadings)

输出：

Principal Component Loadings:     sepal length (cm)  sepal width (cm)  petal length (cm)  petal width (cm)
PC1           0.521066         -0.269347           0.580413          0.564857
PC2           0.377418          0.923296           0.024492          0.066942

• 每一行（PC1, PC2）对应一个主成分
• 每一列（原始特征）表示该特征在主成分上的贡献系数
• 数值的绝对值越大，表示该特征对该主成分的贡献越大
• 正负号表示该特征在该主成分上的方向（正相关或负相关）

据此可以解读出：

• 第一主成分 (PC1)主要由petal length (0.580) 和petal width (0.564) 决定，因为两者对于PC1的贡献最大
• 第二主成分 (PC2)sepal width (0.923) 对 PC2 贡献最大，远高于其他特征。sepal length (0.377) 也有一定贡献，但远不及sepal width。

3.7.7. 降维损失分析

解释方差(Explained Variance)

PCA的每个主成分都保留了数据的一部分方差信息。可以查看解释方差比例（explained variance ratio） 来评估降维损失:

import numpy as np  explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_  
print("Explained variance ratio:", explained_variance_ratio)  
print("Total variance retained:", np.sum(explained_variance_ratio))

• explained_variance_ratio_表示每个主成分解释的方差比例
• np.sum(explained_variance_ratio_)表示保留的总方差比例，越接近 1，说明损失越小

输出：

Explained variance ratio: [0.72962445 0.22850762]
Total variance retained: 0.9581320720000165

重构误差(Reconstruction Error)

PCA进行降维后，可以将数据从低维空间逆变换（inverse_transform） 回原始空间，然后计算均方误差（MSE） 以评估损失：

X_reconstructed = pca.inverse_transform(X_pca)  # 逆变换回原始空间
reconstruction_error = np.mean((X_scaled - X_reconstructed) ** 2)
print("Reconstruction Error (MSE):", reconstruction_error)

• 误差越小，说明降维保留的信息越多

输出：

Reconstruction Error (MSE): 0.0418679279999836