网站建设服务器选择网页制作在线生成
我们向量要研究什么？实际上我们在现实中是研究向量与向量之间的关系，而在关系中最重要的是向量与向量之间能否线性表示。
我们在数学中首次理解的向量一般都是二维向量吧，一般是一个直角坐标系，我们说定义这样一个坐标系一般是用两个单位向量（x轴和y轴）来定义的，这里就体现了我们本章的思想。我们在初等数学中做出向量一般都是要问他们之间的关系是什么，而在这些所有的前提是，得有个这样的两个单位向量来定义这个二维空间。也就首先是要找到两个线性无关的向量来“打开”这个空间。
那么本章，主要就是研究的这个线性表示和线性相关性的问题，也就是我们向量诞生的第一步，怎么判断“支撑”这个空间的向量。
向量与向量组的线性相关性
向量的概念和运算
向量和1*n的矩阵类似，可以类比记忆。
向量的内积和正交
可以看到当我们的向量中的数变成向量，其实也就是我们后面学的向量组。向量的Gram矩阵就有了更深层的含义，我们可以在这个Gram矩阵上看到向量和向量之间的cos关系和向量各自模的平方。这是相当有意思的，因为且不说我们很多时候不好直接求cos，很多高维向量的cos我们更是很难去想象出来的，而通过这种方式我们就能知道很多向量之间的cos关系，而cos的大小又能很好的描述两个向量之间的“相似程度”，这样的话对于我们其实有很多现实意义，大家可以思考一下，这里就不过多展开了。
正交矩阵
注意别和之前的搞混了。之前那个是两向量相乘为0是正交，而我们的正交矩阵是方阵且自身的Gram矩阵为E则为正交矩阵。
而我们正交矩阵的作用一般是将数据进行旋转操作。
向量组的线性表示和线性相关的概念
注意这里的k是“不全为零”，这个线性相关啥意思呢，就是说这个向量组里有一个向量能被其他向量表示，就说这个向量组线性相关。那这个能被其他向量表示的向量其实是多余的，纯纯是“摆烂仔”，因为对于我们这个向量撑起空间来说他没什么b用。那我们为什么说含有零向量的向量组必线性相关呢？从定义上来说，只要其他的向量都乘0，这个零向量乘啥就行。从我们这里理解就很显然了，零向量显然可以被其他向量都乘0的和来表示。
当然你也可以跟着这个定义去理解，其实是一样的，就是说这个向量组里面有一个向量是其他向量的乘积和，原因是我们最后的结果要是0。这里建议跟我的理解就行了，这个定义有点绕，不太适合我们记忆。
那么啥是线性无关呢，就是说这个向量组里面所有的向量都无法互相表示，没有人是“摆烂仔”，每个人对于他所在的那个方向都是独特的，都是无法代替的。表现上数学上就是他们只有前面的数字是0才能和为0，因为他们没办法互相抵消。举个例子吧，就比如说我们二维向量组中（0，1）（1，0）所构成的向量组就是线性无关的，他们无法相互表示，而若这个向量组里加入了（1，1），就变成了线性相关的，因为（1，1）可以被（0，1）和（1，0）表示。我们换一个理解就是，这个（1，0）和（0，1）两个人张成了一个二维空间，而向量（1，1）是躺在他俩张成的空间里的，属于是啥也没干的摆烂仔，所以加了他就线性相关了。
因此我们很容易看出来，这个线性无关是比线性相关要更重要的。
判别线性相关性的七大定理
这七大定理用我刚刚说的理解来诠释起来就很容易了。我就不过多赘述了，你们有人需要解释的话在评论区留言一下。
这个要重点理解一下：
第一种的意思是，给出的约束的数量少于未知数的个数，那么根据我们初中的知识，这种对应的就是给出的式子少于未知数的个数，那这样的方程组肯定是有很多个解的，而且这个解里面有未知数有很多的取值，因为一定有自由未知数的存在。第二种的意思是，虽然我给的式子和我们的未知数相等，但是有的式子是可以由其他的式子推出来的（对应的是行列式为0），那么这种就相当于少给个式子，和第一种一样理解。第二个是每个式子都是有用的（对应行列式不为0），那么这样的话显然就只有零解了。第三种给出的式子大于未知数的情况，考试一般不会遇到也不会这样考。
这个定理提出了其所谓的“摆烂”的深层量化的指标其实是向量组的秩，这个秩等会我后面再讲。
这第一句话什么意思呢，就是说我本来线性无关的分量所张成的空间在高维空间内依然是线性无关的。通俗理解就是，我在用笔在纸上写的诗句（假设其线性无关）不会因为这张纸在风中飘了多久（改变三维空间的位置），经历了多少岁月（改变4维空间的位置）而改变。
口诀是：原来无关延长必无关，原来有关缩短必有关。浪漫一点就是，有缘者一见钟情，无缘者注定走散。
例题
这考点已经很裸露出来的，考的就是一个向量能被其他向量表示的条件。我们之前七大定理里面有说过，能否被线性表示，就是说这个秩在这个向量加入之后是否改变。
第一问只看方法一就行，第二个方法也是一个意思。
组成的向量组的行列式不为0，即此向量组内线性无关。
看到这个形式直接联想到范德蒙德行列式。
看到方程组了，给出的条件没有其本身和其他线性无关的向量组没，估计这题是考的定义。注意这里给出的 ，还是比较坏的，其内在的深层性质是所有大于等于k次方的A乘x都等于0.这个点想不到就很难接下去想做法了。
