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拓扑排序精讲

卡码网：117. 软件构建(opens new window)

题目描述：

某个大型软件项目的构建系统拥有 N 个文件，文件编号从 0 到 N - 1，在这些文件中，某些文件依赖于其他文件的内容，这意味着如果文件 A 依赖于文件 B，则必须在处理文件 A 之前处理文件 B （0 <= A, B <= N - 1）。请编写一个算法，用于确定文件处理的顺序。

输入描述：

第一行输入两个正整数 N, M。表示 N 个文件之间拥有 M 条依赖关系。

后续 M 行，每行两个正整数 S 和 T，表示 T 文件依赖于 S 文件。

输出描述：

输出共一行，如果能处理成功，则输出文件顺序，用空格隔开。

如果不能成功处理（相互依赖），则输出 -1。

输入示例：

5 4
0 1
0 2
1 3
2 4

输出示例：

0 1 2 3 4

提示信息：

文件依赖关系如下：

所以，文件处理的顺序除了示例中的顺序，还存在

0 2 4 1 3

0 2 1 3 4

等等合法的顺序。

数据范围：

• 0 <= N <= 10 ^ 5
• 1 <= M <= 10 ^ 9

拓扑排序指的是一种 解决问题的大体思路， 而具体算法，可能是广搜也可能是深搜。

大家可能发现 各式各样的解法，纠结哪个是拓扑排序？

其实只要能在把 有向无环图 进行线性排序 的算法 都可以叫做 拓扑排序。

实现拓扑排序的算法有两种：卡恩算法（BFS）和DFS

卡恩1962年提出这种解决拓扑排序的思路

一般来说我们只需要掌握 BFS （广度优先搜索）就可以了，清晰易懂，如果还想多了解一些，可以再去学一下 DFS 的思路，但 DFS 不是本篇重点。

接下来我们来讲解BFS的实现思路。

以题目中示例为例如图：

做拓扑排序的话，如果肉眼去找开头的节点，一定能找到 节点0 吧，都知道要从节点0 开始。

但为什么我们能找到 节点0呢，因为我们肉眼看着 这个图就是从 节点0出发的。

作为出发节点，它有什么特征？

你看节点0 的入度 为0 出度为2， 也就是 没有边指向它，而它有两条边是指出去的。

节点的入度表示 有多少条边指向它，节点的出度表示有多少条边 从该节点出发。

所以当我们做拓扑排序的时候，应该优先找 入度为 0 的节点，只有入度为0，它才是出发节点。 理解以上内容很重要！

接下来我给出 拓扑排序的过程，其实就两步：

1. 找到入度为0 的节点，加入结果集
2. 将该节点从图中移除

循环以上两步，直到 所有节点都在图中被移除了。

结果集的顺序，就是我们想要的拓扑排序顺序 （结果集里顺序可能不唯一）

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();List<List<Integer>> umap = new ArrayList<>(); // 记录文件依赖关系int[] inDegree = new int[n]; // 记录每个文件的入度for (int i = 0; i < n; i++)umap.add(new ArrayList<>());for (int i = 0; i < m; i++) {int s = scanner.nextInt();int t = scanner.nextInt();umap.get(s).add(t); // 记录s指向哪些文件inDegree[t]++; // t的入度加一}Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {if (inDegree[i] == 0) {// 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列queue.add(i);}}List<Integer> result = new ArrayList<>();// 拓扑排序while (!queue.isEmpty()) {int cur = queue.poll(); // 当前选中的文件result.add(cur);for (int file : umap.get(cur)) {inDegree[file]--; // cur的指向的文件入度-1if (inDegree[file] == 0) {queue.add(file);}}}if (result.size() == n) {for (int i = 0; i < result.size(); i++) {System.out.print(result.get(i));if (i < result.size() - 1) {System.out.print(" ");}}} else {System.out.println(-1);}}
}

dijkstra（朴素版）精讲

卡码网：47. 参加科学大会(opens new window)

【题目描述】

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。

小明的起点是第一个车站，终点是最后一个车站。然而，途中的各个车站之间的道路状况、交通拥堵程度以及可能的自然因素（如天气变化）等不同，这些因素都会影响每条路径的通行时间。

小明希望能选择一条花费时间最少的路线，以确保他能够尽快到达目的地。

【输入描述】

第一行包含两个正整数，第一个正整数 N 表示一共有 N 个公共汽车站，第二个正整数 M 表示有 M 条公路。

接下来为 M 行，每行包括三个整数，S、E 和 V，代表了从 S 车站可以单向直达 E 车站，并且需要花费 V 单位的时间。

【输出描述】

输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。

输入示例

7 9
1 2 1
1 3 4
2 3 2
2 4 5
3 4 2
4 5 3
2 6 4
5 7 4
6 7 9

输出示例：12

【提示信息】

能够到达的情况：

如下图所示，起始车站为 1 号车站，终点车站为 7 号车站，绿色路线为最短的路线，路线总长度为 12，则输出 12。

不能到达的情况：

如下图所示，当从起始车站不能到达终点车站时，则输出 -1。

数据范围：

1 <= N <= 500; 1 <= M <= 5000

本题就是求最短路，最短路是图论中的经典问题即：给出一个有向图，一个起点，一个终点，问起点到终点的最短路径。

接下来，我们来详细讲解最短路算法中的 dijkstra 算法。

dijkstra算法：在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。

需要注意两点：

• dijkstra 算法可以同时求 起点到所有节点的最短路径
• 权值不能为负数

（这两点后面我们会讲到）

如本题示例中的图：

起点（节点1）到终点（节点7） 的最短路径是 图中 标记绿线的部分。

最短路径的权值为12。

其实 dijkstra 算法 和 我们之前讲解的prim算法思路非常接近，如果大家认真学过prim算法，那么理解 Dijkstra 算法会相对容易很多。（这也是我要先讲prim再讲dijkstra的原因）

dijkstra 算法 同样是贪心的思路，不断寻找距离 源点最近的没有访问过的节点。

这里我也给出 dijkstra三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

大家此时已经会发现，这和prim算法 怎么这么像呢。

我在prim算法讲解中也给出了三部曲。 prim 和 dijkstra 确实很像，思路也是类似的，这一点我在后面还会详细来讲。

在dijkstra算法中，同样有一个数组很重要，起名为：minDist。

minDist数组 用来记录 每一个节点距离源点的最小距离。

理解这一点很重要，也是理解 dijkstra 算法的核心所在。

大家现在看着可能有点懵，不知道什么意思。

没关系，先让大家有一个印象，对理解后面讲解有帮助。

我们先来画图看一下 dijkstra 的工作过程，以本题示例为例： （以下为朴素版dijkstra的思路）

（示例中节点编号是从1开始，所以为了让大家看的不晕，minDist数组下标我也从 1 开始计数，下标0 就不使用了，这样 下标和节点标号就可以对应上了，避免大家搞混）

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();int[][] grid = new int[n + 1][n + 1];for (int i = 0; i <= n; i++) {Arrays.fill(grid[i], Integer.MAX_VALUE);}for (int i = 0; i < m; i++) {int p1 = scanner.nextInt();int p2 = scanner.nextInt();int val = scanner.nextInt();grid[p1][p2] = val;}int start = 1;int end = n;// 存储从源点到每个节点的最短距离int[] minDist = new int[n + 1];Arrays.fill(minDist, Integer.MAX_VALUE);// 记录顶点是否被访问过boolean[] visited = new boolean[n + 1];minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点int minVal = Integer.MAX_VALUE;int cur = 1;// 1、选距离源点最近且未访问过的节点for (int v = 1; v <= n; ++v) {if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {minVal = minDist[v];cur = v;}}visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）for (int v = 1; v <= n; v++) {if (!visited[v] && grid[cur][v] != Integer.MAX_VALUE && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];}}}if (minDist[end] == Integer.MAX_VALUE) {System.out.println(-1); // 不能到达终点} else {System.out.println(minDist[end]); // 到达终点最短路径}}
}