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前缀和的概念

前缀和（Prefix Sum）是一种预处理技术，用于快速计算数组区间和。其核心思想是通过预处理生成一个前缀和数组，使得区间和查询的时间复杂度从O(n)优化为O(1)。

前缀和的实现

1. 预处理前缀和数组
   给定数组nums，其前缀和数组prefix定义为：
   • prefix[0] = 0
   • prefix[i] = prefix[i-1] + nums[i-1]（i ≥ 1）

vector<int> prefixSum(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> prefix(n + 1, 0);for (int i = 1; i <= n; ++i) {prefix[i] = prefix[i - 1] + nums[i - 1];}return prefix;
}

1. 区间和查询
   利用前缀和数组，区间[l, r]的和可通过以下公式计算：
   sum = prefix[r + 1] - prefix[l]

int rangeSum(vector<int>& prefix, int l, int r) {return prefix[r + 1] - prefix[l];
}

应用场景

• 频繁区间求和：如多次查询数组子数组的和。
• 动态数据统计：结合差分数组处理动态区间更新。
• 多维扩展：二维前缀和用于矩阵区域求和（如LeetCode 304）。

复杂度分析

• 预处理时间：O(n)
• 查询时间：O(1)
• 空间复杂度：O(n)

示例代码

以下为完整示例，展示前缀和的构建与查询：

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;int main() {vector<int> nums = {1, 3, 5, 7, 9};vector<int> prefix = prefixSum(nums);// 查询区间[1, 3]的和（即3 + 5 + 7 = 15）cout << rangeSum(prefix, 1, 3) << endl; // 输出15return 0;
}