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RNN（下集）	待编写

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LSTM（长短期记忆）

参考知乎文章《人人都能看懂的LSTM介绍及反向传播算法推导（非常详细） - 知乎》，部分图片也进行了引用。

参考视频教程《3.结合例子理解LSTM_哔哩哔哩_bilibili》，举的例子还是比较贴切的。不过反向传播的完整推导，非必要不用深入看。

一、相关知识早知道

• ————————————————该模型提出的原因是为了解决什么问题的？———————————————

  答：为了解决 $RNN$ 的

  • 梯度爆炸和梯度消失问题 （尽管激活函数 $tanh$ 已经在一定程度上缓解了梯度消失和梯度爆炸，但是当连乘次数过多时，依然会有此问题）。
  • 长期依赖捕捉困难问题 （ $RNN$ 的隐藏状态仅能保留短期历史信息，难以建模长序列中的复杂依赖）。
  • 信息筛选问题 （ $RNN$ 对历史信息是全部接收的，但是无法筛选出历史信息中真正有用的内容，间接导致了前两个问题）。

• ————————————为什么 $LSTM$ 相较于 $RNN$ 能缓解梯度爆炸和梯度消失？———————————

  答：首先梯度存在于反向传播中。 $RNN$ 的前向传播是连乘式结构，这就导致其反向传播也是连乘式结构，在反向传播过程中， $RNN$ 的梯度要么始终大于$1$ ，要么始终小于 $1$ ，连乘时便会轻而易举地引起梯度爆炸和梯度消失（是针对较远时间步的梯度来说）。而在 $LSTM$ 中，由于其独特的多门结构，可以使得导数值可以在 $1$ 上下浮动（上一时间步的梯度大于 $1$ ，下一时刻的梯度也可能小于 $1$ ，连乘时就不至于过大或过小）。并且通过对多个门结构参数的学习，可以实现信息筛选，来决定何时让梯度消失，何时保持梯度（也就是所谓的梯度截断）。

• ———————————————————— $LSTM$ 的缺点有哪些？———————————————————

  答：尽管 $LSTM$ 显著优于 $RNN$ ，但仍存在以下问题:

  • 计算复杂度高 ：三个门控结构引入更多参数，训练耗时较长。
  • 长序列性能衰减 ：处理极长序列（如数万步）时仍可能出现记忆衰退。
  • 超参数敏感 ：初始化策略和门控权重需精细调优，否则易导致训练不稳定。
  • 参数多，容易造成过拟合。
  • 无法并行计算 ：每个时间步需依赖前序结果，影响处理效率（后续的 $Transformer$ 解决了这个问题）。
  • 可解释性 一直是个难点，简单来说就是很难完全说清楚为什么内部结构这样设计，内部结构复杂使其决策逻辑难以被直观解释。

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二、结构图

对比传统 $RNN$ ，$LSTM$ 的突出特点是多了个记忆细胞，能选择性地保留之前和当下的语义信息。

1）整体结构图

$LSTM$ 网络中的 $\sigma$ 就是 $sigmoid$ 函数。它在这里也被叫做 “门单元” ，因为 $sigmoid$ 函数的值为 $[0,1]$ ，类似阀门，开的口大进的就多，开的口小进的就少。

2）单个时刻结构图

其内部包含四个网络层（其中三个门单元，带 $\sigma$ 的就是门），分别是：遗忘门、更新门、细胞状态更新层、输出门。

后续符号提示：$\odot$ （向量或矩阵的对应元素相乘）。

令 $x_t$ 尺寸为 $m\times 1$ ， $h_{t-1}$ 尺寸为 $n\times 1$ ，则 $C_{t-1}$ 尺寸为 $n\times 1$ 。

①遗忘门：

公式：
$$f_t=\sigma (W_{hf}\cdot h_{t-1}+W_{xf}\cdot x_t+b_f)=\sigma (W_f\cdot [h_{t-1},x_t]+b_f)$$
$f_t$ ：我叫它 “遗忘矩阵” ，由 $x_t$ 和 $h_{t-1}$ 计算而来， $\sigma$ 函数使 $f_t$ 的元素处于 $0\sim 1$ ，使其对 $C_{t-1}$ 具有遗忘功能， $1$ 表示 “完全接受”，$0$ 表示 “完全忽略”。 $f_t$ 的尺寸和 $h_{t-1}$ 、 $C_{t-1}$ 一样，同为 $n\times 1$ ------------------------则可推出参数 $W_{hf}$ 尺寸为 $n\times n$ ， $W_{xf}$ 尺寸为 $n\times m$ ， $b_f$ 尺寸为 $n\times 1$ 。

②输入门：

公式：
$$\begin{gathered} i_t=\sigma (W_{hi}\cdot h_{t-1}+W_{xi}\cdot x_t+b_i)=\sigma (W_i\cdot [h_{t-1},x_t]+b_i) \\ \widetilde{C_t}=tanh(W_{hC}\cdot h_{t-1}+W_{xC}\cdot x_t+b_C)=tanh(W_C\cdot [h_{t-1},x_t]+b_C) \end{gathered}$$
这里的 $\widetilde{C_t}$ 代表的是此时刻生成的新记忆，只不过是初始版。

这里的 $i_t$ ：我叫它 “新记忆筛选矩阵” ， 元素均处于 $0\sim 1$ ，使其对 $\widetilde{C_t}$ 具有筛选功能， $1$ 表示 “完全通过”，$0$ 表示 “完全忽略”。

$i_t$ 的尺寸为 $n\times 1$ ， $\widetilde{C_t}$ 的尺寸为 $n\times 1$ ------------------------则可推出参数 $W_{hi}、W_{hC}$ 尺寸为 $n\times n$ ， $W_{xi}、W_{xC}$ 尺寸为 $n\times m$ ， $b_i、b_C$ 尺寸为 $n\times 1$ 。

③细胞状态更新

公式：
$$C_t=f_t\odot C_{t-1}+i_t\odot \widetilde{C_t}$$
这里的 $C_t$ 便是最终要输出的新记忆。

新记忆由经过遗忘的旧记忆，以及经过筛选的原始新记忆，相加而得到。

$C_t$ 的尺寸为 $n\times 1$ 。

④输出门：

公式：
$$\begin{gathered} o_t=\sigma (W_{ho}\cdot h_{t-1}+W_{xo}\cdot x_t+b_o)=\sigma (W_o\cdot [h_{t-1},x_t]+b_o) \\ {h}_t=o_t\odot tanh(C_t) \end{gathered}$$
这里的 $h_t$ 便是隐层状态输出，由新记忆 $C_t$ 通过 $tanh$ 函数调整到 $-1\sim 1$ 之间，再与 $o_t$ 逐元素相乘得到。

这里的 $o_t$ ：我叫它 “隐层状态输出提炼矩阵” ，元素均处于 $0\sim 1$ ，使其对 $C_t$ 具有提炼功能， $1$ 表示 “完全通过”，$0$ 表示 “完全忽略”。

从 $C_t$ 中提炼出 $h_t$ ，是因为细胞状态 $C_t$ 存储了经过遗忘门和输入门筛选后的所有长期信息（如历史趋势或主题），但并非所有内容都需直接传送给后续网络，通过提炼，仅保留与当前任务相关的部分。并且经过 $tanh$ 函数压缩之后，可以避免数值爆炸，并增强非线性表达能力。

3）单个时刻公式图

4）补充：

传统 $RNN$ 的同步多对多结构图：

三、损失函数及反向传播

想要深入研究的，就参考知乎那篇文章，以及视频的最后一个分集（可以稍稍看看矩阵求导，对反向传播的计算有帮助）。

只是想用的，知道使用的是链式法则、梯度下降法即可。

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