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题目描述
书籍的长、宽都是整数对应((l,w))。如果书A的长宽度都比B的长宽大时，则允许将B排列放在A上面。现在有一组规格的书籍，书籍叠放时要求书籍不能旋转，请计算最多能有多少个规格书籍能叠放在一起。
输入描述
输入：books = [[20,16],[15,11],[10,10],[9,10]]
说明：总共4本书籍，第一本长度为20宽度为16；第二本书长度为15宽度为11，依次类推，最后一本书长度为9宽度为10。
输出描述
输出：3
最多3个规格的书籍可以叠放到一起，从下到上依次为：[20,16],[15,11],[10,10]
解题思路
这个问题可以转化为一个最长递增子序列（LIS）的问题。我们需要找到一组书籍，使得每本书的长度和宽度都比前一本小。为了简化问题，我们可以先对书籍进行排序，然后使用动态规划来找到最长的序列。
代码实现
Java
import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;public class MaxBooks {public int maxBooks(int[][] books) {// 按长度降序排序，如果长度相同则按宽度降序排序Arrays.sort(books, new Comparator<int[]>() {public int compare(int[] a, int[] b) {if (a[0] == b[0]) {return b[1] - a[1];} else {return b[0] - a[0];}}});int[] dp = new int[books.length];int len = 0;for (int[] book : books) {int i = Arrays.binarySearch(dp, 0, len, book[1]);if (i < 0) {i = -(i + 1);}dp[i] = book[1];if (i == len) {len++;}}return len;}public static void main(String[] args) {MaxBooks solution = new MaxBooks();int[][] books = {{20, 16}, {15, 11}, {10, 10}, {9, 10}};System.out.println(solution.maxBooks(books)); // 3}
}
Python
import bisectclass Solution:def maxBooks(self, books):# 按长度降序排序，如果长度相同则按宽度降序排序books.sort(key=lambda x: (-x[0], -x[1]))dp = []for book in books:idx = bisect.bisect_left(dp, book[1])if idx == len(dp):dp.append(book[1])else:dp[idx] = book[1]return len(dp)solution = Solution()
books = [[20, 16], [15, 11], [10, 10], [9, 10]]
print(solution.maxBooks(books)) # 3
C++
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;class Solution {
public:int maxBooks(vector<vector<int>>& books) {// 按长度降序排序，如果长度相同则按宽度降序排序sort(books.begin(), books.end(), [](const vector<int>& a, const vector<int>& b) {if (a[0] == b[0]) {return a[1] > b[1];} else {return a[0] > b[0];}});vector<int> dp;for (const auto& book : books) {auto it = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), book[1]);if (it == dp.end()) {dp.push_back(book[1]);} else {*it = book[1];}}return dp.size();}
};int main() {Solution solution;vector<vector<int>> books = {{20, 16}, {15, 11}, {10, 10}, {9, 10}};cout << solution.maxBooks(books) << endl; // 3return 0;
}
JavaScript
var maxBooks = function(books) {// 按长度降序排序，如果长度相同则按宽度降序排序books.sort((a, b) => {if (a[0] === b[0]) {return b[1] - a[1];} else {return b[0] - a[0];}});let dp = [];for (let book of books) {let left = 0, right = dp.length;while (left < right) {let mid = Math.floor((left + right) / 2);if (dp[mid] < book[1]) {left = mid + 1;} else {right = mid;}}if (left === dp.length) {dp.push(book[1]);} else {dp[left] = book[1];}}return dp.length;
};let books = [[20, 16], [15, 11], [10, 10], [9, 10]];
console.log(maxBooks(books)); // 3
复杂度分析
- 时间复杂度: O(n log n)，其中n是书籍的数量。排序的时间复杂度是O(n log n)，而动态规划部分的时间复杂度也是O(n log n)。
- 空间复杂度: O(n)，用于存储动态规划数组。
总结
我们使用了排序和动态规划来解决这个问题。首先对书籍进行排序，然后使用二分查找来优化动态规划的过程。这种方法能够有效地找到最长的书籍叠放序列。