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03格的基本域与行列式

一、基本域（平行多面体）的定义与性质

1. 定义（基本域 P(B)）

   由基矩阵 ($\mathbf{B}$ = [${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$] $\in {\mathbb{R}}^{d\times n}$)（(n) 个线性无关的 (d) 维列向量）生成的半开平行多面体：

   $$P(\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot [0,1{)}^n=\left\{\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathbf{b}}_i\mid \forall i,0\le x_i<1\right\}$$

   几何意义：

   1. 二维中为不含边界的平行四边形，三维中为不含部分边界的平行六面体；

   2. 是格的“基本单元”，可无重叠覆盖基向量张成的线性空间 ($\text{span}(\mathbf{B})$)。

2. 推论（基本域的平移不变性）

   若 S 是格 $\mathcal{L}(\mathbf{B})$的基本域，则对任意 $\mathbf{x}\in \mathcal{L}(\mathbf{B})$，平移后的 $S+\mathbf{x}$ 仍是基本域；（这里可以类比位移的分解进行思考）

   即平移后的基本域仍能无重叠覆盖整个 $\text{span}(\mathbf{B})$（体现“铺砖性质”）。

   

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二、格的行列式（体积）

1. 定义

   • 数学表达：格的行列式等于基本域的体积，也等于 Gram-Schmidt 正交化基向量长度的乘积：

     $$\det (L(\mathbf{B}))=\text{vol}(P(\mathbf{B}))=\prod _{i=1}^n\Vert {\mathbf{b}}_i^{\ast }\Vert$$

   其中 ${\mathbf{b}}_i^{\ast }$ 是 $\mathbf{B}$ 的 Gram-Schmidt 正交化基（${\mathbf{b}}_1^{\ast }={\mathbf{b}}_1$，${\mathbf{b}}_k^{\ast }={\mathbf{b}}_k-\sum _{i=1}^{k-1}{\mu }_{ki}{\mathbf{b}}_i^{\ast }$，${\mu }_{ki}=\frac{⟨{\mathbf{b}}_k,{\mathbf{b}}_i^{\ast }⟩}{⟨{\mathbf{b}}_i^{\ast },{\mathbf{b}}_i^{\ast }⟩}$）

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三、行列式的相关定理以及性质

1. Hadamard 不等式

   格的行列式不超过原始基向量长度的乘积：

   $$\det (L(\mathbf{B}))\le \prod _{i=1}^n\Vert {\mathbf{b}}_i\Vert$$

   当且仅当基向量两两正交（${\mathbf{b}}_i^{\ast }={\mathbf{b}}_i$）时取等号。

2. 行列式的计算方法

• 一般情况：当基矩阵 $\mathbf{B}$ 不是方阵（$n\times d$ 即 $d\le n$，基向量张成 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个 $d$ 维子空间）

格的行列式是 Gram 矩阵（$\mathbf{G}$=${\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B}$，元素$g_{ij}$为基向量内积 $⟨{\mathbf{b}}_i,{\mathbf{b}}_j⟩$）行列式的平方根：

$$\det (L(\mathbf{B}))=\sqrt{\det ({\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B})}$$

• 方阵情况（列满秩）：（(d = n)，基向量张成整个 ${\mathbb{R}}^n$）：行列式等于基矩阵 $\mathbf{B}$ 行列式的绝对值：

$$\det (L(\mathbf{B}))=|\det (\mathbf{B})|$$

3. 性质

• 格的行列式是格的不变量：与基的选取无关（无论用哪组基计算，行列式值不变）；
• 行列式相同的格不一定相同（行列式是格的重要特征，但非唯一标识）。