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wzjs 2025/7/22 18:00:06
网站内容规范,潍坊关键词优化平台,做网站客户要求分期,网页前端和后端的区别数位动态规划（Digit DP）深度解析：从原理到实战（C实现） 数位动态规划是解决数字位相关计数问题的强大工具，特别适用于统计满足特定条件的数字数量。本文将系统讲解数位DP的核心思想、状态设计、模板实现及优…

数位动态规划（Digit DP）深度解析：从原理到实战（C++实现）

数位动态规划是解决数字位相关计数问题的强大工具，特别适用于统计满足特定条件的数字数量。本文将系统讲解数位DP的核心思想、状态设计、模板实现及优化技巧，包含20+经典问题解析与C++实现。

数位DP本质：在数字的每一位上进行状态转移，同时处理数字本身的限制条件

一、数位DP基础概念

1.1 什么是数位DP

数位DP是一种针对数字位数设计的动态规划方法，用于解决以下类型问题：

  • 统计区间[L, R]内满足特定条件的数字个数
  • 求满足条件的第K小数字
  • 数字各位属性统计（和、乘积、特定模式等）
1.2 数位DP的三大特征
  1. 数字范围大：通常L,R在1e18以上
  2. 条件与位数相关：如包含特定数字、各位和限制等
  3. 可分解性：问题可分解到每位独立处理
1.3 数位DP的核心思想
  • 数位分解：将数字分解为单个数位（digit-by-digit）
  • 状态压缩：记录关键状态（前导零、是否受限、历史信息）
  • 记忆化搜索：避免重复计算相同状态

二、数位DP通用模板

2.1 基本框架
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;typedef long long ll;ll dp[20][state_size]; // 位数 x 状态大小
vector<int> digits;    // 存储每位数字// 将数字分解为各位数字
vector<int> get_digits(ll n) {vector<int> d;while (n) {d.push_back(n % 10);n /= 10;}reverse(d.begin(), d.end()); // 高位在前return d;
}// 核心DFS函数
ll dfs(int pos, int state, bool lead, bool limit) {// 递归终止条件if (pos == digits.size()) {return check(state) ? 1 : 0; // 检查状态是否合法}// 记忆化检索（需注意前导零和限制条件）if (!lead && !limit && dp[pos][state] != -1) {return dp[pos][state];}ll res = 0;int up = limit ? digits[pos] : 9; // 当前位上限for (int d = 0; d <= up; d++) {// 处理前导零if (lead && d == 0) {res += dfs(pos + 1, state, true, limit && (d == up));} // 正常状态转移else {int new_state = update_state(state, d);res += dfs(pos + 1, new_state, false, limit && (d == up));}}// 记忆化存储（无前导零且无限制时才存储）if (!lead && !limit) {dp[pos][state] = res;}return res;
}// 计算[0, n]满足条件的数字个数
ll solve(ll n) {if (n < 0) return 0;digits = get_digits(n);memset(dp, -1, sizeof(dp)); // 初始化DP数组return dfs(0, init_state, true, true);
}int main() {ll L, R;cin >> L >> R;cout << solve(R) - solve(L - 1) << endl;return 0;
}
2.2 关键参数解析
参数类型说明
posint当前处理位数（从高位开始）
stateint压缩的状态信息（如各位和、数字出现情况等）
leadbool前导零标志（true表示前面全是0）
limitbool上限限制标志（true表示前面位都取到上限）
digitsvector存储数字的每位（高位在前）
2.3 四大关键函数
  1. get_digits()：数字分解
  2. dfs()：核心搜索函数
  3. update_state()：状态转移（问题相关）
  4. check()：终止状态检查（问题相关）

三、经典问题模型与实现

3.1 不含特定数字的个数统计

问题：统计[L,R]范围内不包含4和62的数字个数

状态设计：

  • state：记录前一位数字（检查62组合）

实现：

// 状态更新
int update_state(int state, int d) {return d; // 只需记录前一位数字
}// 状态检查
bool check(int state, int d) {// 终止时总是合法（检查在转移时完成）return true;
}// 在DFS循环内添加检查
for (int d = 0; d <= up; d++) {if (d == 4) continue; // 跳过4if (state == 6 && d == 2) continue; // 跳过62// ... 正常转移
}
3.2 数字和问题

问题：统计[L,R]范围内各位数字之和等于S的数字个数

状态设计：

  • state：当前数字和

实现：

const int MAX_SUM = 200; // 最大数字和// 状态更新
int update_state(int state, int d) {return state + d;
}// 状态检查
bool check(int state) {return state == target_sum; // target_sum为预设目标和
}// 初始化：solve函数中设置target_sum
3.3 数位乘积问题

问题：统计[L,R]范围内各位乘积不超过P的数字个数

状态设计：

  • state：当前乘积（需处理前导零）

实现：

// 状态更新
ll update_state(ll state, int d, bool lead) {if (lead && d == 0) return 0; // 前导零保持0return state * d;
}// 状态检查
bool check(ll state) {return state <= max_product;
}// 注意：乘积可能很大，需使用map或离散化

四、状态设计高级技巧

4.1 多状态压缩

问题：统计同时满足多个条件的数字个数

示例：统计各位和等于S且不含4的数字

struct State {int sum;bool has_four;
};// 状态更新
State update_state(State s, int d) {return {s.sum + d,s.has_four || (d == 4)};
}// 状态检查
bool check(State s) {return s.sum == target_sum && !s.has_four;
}
4.2 模数状态

问题：统计满足模运算条件的数字

示例：统计能被M整除且各位和为S的数字

// 状态设计
struct State {int sum;int mod;
};// 状态更新
State update_state(State s, int d) {return {s.sum + d,(s.mod * 10 + d) % M};
}// 状态检查
bool check(State s) {return s.sum == target_sum && s.mod == 0;
}
4.3 二进制状态压缩

问题：统计包含特定数字集合的数字

示例：统计包含数字集合{2,5,8}的数字

// 状态设计：用9位二进制表示0-9是否出现过
int state = 0;// 状态更新
int update_state(int state, int d) {return state | (1 << d);
}// 状态检查
bool check(int state) {return (state & mask) == mask; // mask= (1<<2)|(1<<5)|(1<<8)
}

五、特殊问题处理技巧

5.1 前导零处理

问题场景：

  • 影响数值计算（如乘积）
  • 影响数字结构（如回文数）

解决方案：

// 在DFS中
if (lead && d == 0) {// 保持前导零状态res += dfs(..., true, ...);
} else {// 结束前导零res += dfs(..., false, ...);
}
5.2 上下界处理

问题：区间[L,R]的统计

解决方案：

ll count(ll n) {if (n < 0) return 0;digits = get_digits(n);memset(dp, -1, sizeof(dp));return dfs(0, init_state, true, true);
}ll result = count(R) - count(L - 1);
5.3 第K大数字查询

问题：求满足条件的第K小数字

解决方案：

ll kth(ll k) {ll l = 0, r = MAX_R;while (l < r) {ll mid = (l + r) / 2;if (count(mid) >= k) {r = mid;} else {l = mid + 1;}}return l;
}

六、数位DP优化策略

6.1 状态压缩优化

技巧：合并相似状态

// 原状态：pos(20) × sum(200) × mod(50) = 200,000
// 优化：发现sum只关心与target_sum的差值
int diff = abs(sum - target_sum);
if (diff > MAX_DIFF) diff = MAX_DIFF; // 限制状态数
6.2 双DP优化

问题：同时统计两个相关属性

示例：统计各位和等于S且平方和等于T的数字

// 状态设计
struct State {int sum;int sq_sum;
};// 状态更新
State update_state(State s, int d) {return {s.sum + d,s.sq_sum + d * d};
}
6.3 数位DP+数学优化

问题：复杂条件统计

示例：统计能被各位和整除的数字

// 状态设计
struct State {int sum;int mod; // 当前数字模int remain; // 当前数字模sum的余数（但sum未知！）
};// 解决方案：枚举可能的各位和S
for (int s = 1; s <= MAX_SUM; s++) {target_sum = s;result += solve();
}

七、经典难题解析

7.1 魔法数字（CodeForces 628D）

问题：统计[L,R]内偶数位为d且奇数位不为d的可被M整除的数字

状态设计：

struct State {int pos_mod; // 当前模Mint len;     // 当前长度（判断奇偶位）
};// 状态转移
State update_state(State s, int d, int pos) {int parity = (s.len % 2) == 0; // 0:奇, 1:偶if (parity == 1 && d != magic_digit) return invalid;if (parity == 0 && d == magic_digit) return invalid;return {(s.pos_mod * 10 + d) % M,s.len + 1};
}
7.2 数字计数（Luogu P2602）

问题：统计[L,R]内每个数字(0-9)出现的次数

解决方案：对每个数字单独统计

ll count_digit(ll n, int target) {// 修改check函数auto check = [&](int cnt) { return cnt; };// 修改状态：当前target计数auto update_state = [&](int cnt, int d) {return cnt + (d == target);};return solve(n);
}// 对每个数字0-9
for (int d = 0; d <= 9; d++) {cout << count_digit(R, d) - count_digit(L-1, d) << " ";
}
7.3 平衡数（LeetCode 6217）

问题：统计各位数字中不同数字出现次数均为偶数的数字

状态设计：

// 状态：10位二进制，每位表示对应数字出现次数的奇偶性
int state = 0;// 状态更新
int update_state(int state, int d) {return state ^ (1 << d);
}// 状态检查
bool check(int state) {return state == 0; // 所有位出现偶数次
}

八、数位DP扩展应用

8.1 非十进制问题

问题：在B进制下统计满足条件的数字

解决方案：修改数位分解和上限

vector<int> get_digits(ll n, int base) {vector<int> d;while (n) {d.push_back(n % base);n /= base;}reverse(d.begin(), d.end());return d;
}// 在DFS中
int up = limit ? digits[pos] : base - 1;
8.2 负数处理

问题：处理负数范围

解决方案：

// 处理[L,R]的负数范围
if (R < 0) {return solve_negative(-L, -R);
} else if (L < 0) {return solve_negative(1, -L) + solve_positive(0, R);
}
8.3 浮点数问题

问题：统计满足条件的小数

解决方案：

// 分解整数和小数部分
pair<vector<int>, vector<int>> split(double n) {// 整数部分ll integer = floor(n);// 小数部分double frac = n - integer;vector<int> frac_digits;for (int i = 0; i < precision; i++) {frac *= 10;frac_digits.push_back(floor(frac));frac -= floor(frac);}return {get_digits(integer), frac_digits};
}

九、性能优化对比

优化策略时间复杂度空间复杂度适用场景
基础数位DPO(D*S)O(D*S)状态空间小
状态压缩O(D*S’)O(D*S’)合并相似状态
双DP优化O(DS1S2)O(DS1S2)多属性统计
枚举各位和O(SUMDS)O(D*S)复杂模运算问题

十、高频面试题精选

  1. 数字1的个数（LeetCode 233）
  2. 统计特殊整数（LeetCode 2376）
  3. 旋转数字（LeetCode 788）
  4. 最大为N的数字组合（LeetCode 902）
  5. 不含连续1的非负整数（LeetCode 600）
  6. 数字转换为16进制（LeetCode 405）变种
  7. 统计美丽子数组（LeetCode 6449）

十一、数位DP总结

11.1 核心思维导图
数位DP
问题分析
状态设计
条件处理
数位分解
范围处理
基础状态
压缩状态
前导零
上下界
11.2 解题四步法
  1. 问题转化：将区间问题转化为[0,N]形式
  2. 状态设计：确定需要携带的关键信息
  3. 转移方程：定义数位间的状态转移
  4. 边界处理：前导零、终止条件等
11.3 学习建议
  1. 基础阶段：掌握模板和基本状态设计
  2. 进阶阶段：练习多状态压缩问题
  3. 高级阶段：攻克数位DP+数学问题
  4. 优化阶段：学习状态压缩和剪枝技巧

关键提示：数位DP的核心在于"状态设计"和"前导零处理"。多练习经典问题，培养对状态设计的直觉！

附录：通用数位DP模板（C++17）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;using ll = long long;
const int MAX_LEN = 20;struct DPState {bool lead;bool limit;// 添加自定义状态字段
};class DigitDP {
private:vector<int> digits;vector<vector<optional<ll>>>> memo;// 初始化状态（根据问题实现）DPState init_state() { return {true, true}; }// 状态更新（根据问题实现）DPState update_state(const DPState& s, int d) {bool new_lead = s.lead && (d == 0);bool new_limit = s.limit && (d == digits[pos]);return {new_lead, new_limit};}// 终止检查（根据问题实现）bool check_state(const DPState& s, int pos) {return pos == digits.size();}// 核心DFSll dfs(int pos, DPState state) {if (pos == digits.size()) {return check_state(state, pos) ? 1 : 0;}// 记忆化检索int state_idx = compress_state(state);if (state_idx != -1 && memo[pos][state_idx].has_value()) {return memo[pos][state_idx].value();}ll res = 0;int up = state.limit ? digits[pos] : 9;for (int d = 0; d <= up; d++) {DPState new_state = update_state(state, d);res += dfs(pos + 1, new_state);}// 记忆化存储if (state_idx != -1) {memo[pos][state_idx] = res;}return res;}// 状态压缩（根据问题实现）int compress_state(const DPState& s) {// 简单示例：返回-1表示不记忆化return -1; }public:DigitDP(ll n) {// 数字分解while (n) {digits.push_back(n % 10);n /= 10;}reverse(digits.begin(), digits.end());// 初始化记忆化数组memo.resize(digits.size(), vector<optional<ll>>(1024));}ll solve() {return dfs(0, init_state());}
};int main() {ll L, R;cin >> L >> R;DigitDP dp_l(L-1), dp_r(R);ll ans = dp_r.solve() - dp_l.solve();cout << "Result: " << ans << endl;return 0;
}

通过掌握数位DP的核心思想和经典模型，能够高效解决各种数字计数问题。

http://www.dtcms.com/wzjs/52527.html

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