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wzjs 2025/7/24 8:02:41
秀山网站建设,首页关键词排名,校园超市网站开发,怎么排名到百度第一页动态规划之背包问题详解 背包问题是动态规划领域的核心内容，也是算法竞赛和面试中的常考题型。本文系统性地介绍各类背包问题的解题思路、状态转移方程和优化技巧，帮助读者全面掌握这一重要算法范式。 一、01背包问题 问题描述 有 N 件物品和一个容量…

动态规划之背包问题详解

背包问题是动态规划领域的核心内容，也是算法竞赛和面试中的常考题型。本文系统性地介绍各类背包问题的解题思路、状态转移方程和优化技巧，帮助读者全面掌握这一重要算法范式。

一、01背包问题

问题描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

核心思想

01背包的核心在于每件物品只有选与不选两种状态，状态转移方程为：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i])

代码实现

二维解法（基础）
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包的最大价值
int v[MAXN], w[MAXN]; // 体积和价值int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 不选第i件物品if (j >= v[i]) // 能选第i件物品f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m];return 0;
}
一维优化（空间优化）
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN]; // 优化为一维数组
int v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = m; j >= v[i]; j--) // 逆序遍历避免覆盖f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}

关键点

  1. 逆序遍历保证每个物品只被选取一次

  2. 状态转移基于前一个状态的值

  3. 时间复杂度O(NV)，空间复杂度O(V)

二、完全背包问题

问题描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

核心思想

与01背包的区别在于物品可以无限次选取，状态转移方程为：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]] + w[i])

代码实现

二维解法
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN][MAXN];
int v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j];if (j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);}}cout << f[n][m];return 0;
}
一维优化
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];
int v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = v[i]; j <= m; j++) // 正序遍历允许重复选取f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}

与01背包的区别

  1. 正序遍历允许物品多次选取

  2. 状态转移基于当前行而不是上一行

  3. 时间复杂度仍为O(NV)，但状态转移逻辑不同

三、多重背包问题

问题描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

二进制优化

当物品数量较大时，使用二进制优化将多重背包转化为01背包：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 25000; // 1000*log2000 ≈ 22000
int f[MAXN], v[MAXN], w[MAXN];int main() {int n, m, cnt = 0;cin >> n >> m;// 二进制拆分for (int i = 1; i <= n; i++) {int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while (k <= s) {cnt++;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if (s > 0) {cnt++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}// 01背包求解for (int i = 1; i <= cnt; i++)for (int j = m; j >= v[i]; j--)f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}

优化原理

  1. 将数量s拆分为2的幂次之和（1,2,4,...,2^k,s-2^k）

  2. 每个拆分后的物品视为独立的01背包物品

  3. 优化时间复杂度从O(NVS)降为O(NVlogS)

四、分组背包问题

问题描述

给定N组物品和一个容量为V的背包。每组物品有若干个，但在同一组内，最多只能选择一件物品。每件物品有其对应的体积和价值。目标是选择物品放入背包，使得总体积不超过背包容量，且总价值最大。

状态转移

f[i][j] = max(f[i-1][j], max_{1≤k≤s_i}(f[i-1][j-v_{ik}] + w_{ik}))

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 105;
int f[MAXN][MAXN], v[MAXN][MAXN], w[MAXN][MAXN], s[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> s[i];for (int j = 1; j <= s[i]; j++)cin >> v[i][j] >> w[i][j];}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 不选该组任何物品for (int k = 1; k <= s[i]; k++) {if (j >= v[i][k])f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i][k]] + w[i][k]);}}}cout << f[n][m];return 0;
}

优化技巧

  1. 使用一维数组优化空间

  2. 每组内部循环放在最内层

  3. 逆序遍历背包容量

五、二维费用背包问题

问题特点

背包限制条件从单一容量变为两个维度（如重量和体积、金钱和时间等）

潜水员问题

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXM = 85, MAXN = 25;
int f[MAXM][MAXN]; // f[j][k]: 氧气至少j，氮气至少k的最小重量
int O2[MAXN], N2[MAXN], W[MAXN];int main() {int m, n, k;cin >> m >> n >> k;memset(f, 0x3f, sizeof f);f[0][0] = 0;for (int i = 1; i <= k; i++)cin >> O2[i] >> N2[i] >> W[i];for (int i = 1; i <= k; i++) {for (int j = m; j >= 0; j--) {for (int k = n; k >= 0; k--) {int nj = max(0, j - O2[i]);int nk = max(0, k - N2[i]);f[j][k] = min(f[j][k], f[nj][nk] + W[i]);}}}cout << f[m][n];return 0;
}

宠物小精灵收服

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXM = 505, MAXN = 1005;
int f[MAXN][MAXM]; // f[j][k]: 使用j个球，消耗k体力的最大收服数
int balls[MAXN], damage[MAXM];int main() {int n, m, k;cin >> n >> m >> k;m--; // 保留1点体力for (int i = 1; i <= k; i++)cin >> balls[i] >> damage[i];for (int i = 1; i <= k; i++) {for (int j = n; j >= balls[i]; j--) {for (int k = m; k >= damage[i]; k--) {f[j][k] = max(f[j][k], f[j-balls[i]][k-damage[i]] + 1);}}}int max_catch = f[n][m], min_damage = 0;for (int k = 0; k <= m; k++) {if (f[n][k] == max_catch) {min_damage = k;break;}}cout << max_catch << " " << m + 1 - min_damage;return 0;
}

六、混合背包问题

问题描述

混合背包结合了01背包、完全背包和多重背包，需要根据物品类型选择不同的处理策略。

通用解法

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXM = 205;
int dp[MAXM];// 01背包处理
void zeroOnePack(int weight, int value, int capacity) {for (int j = capacity; j >= weight; j--)dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight] + value);
}// 完全背包处理
void completePack(int weight, int value, int capacity) {for (int j = weight; j <= capacity; j++)dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight] + value);
}// 多重背包处理（二进制优化）
void multiplePack(int weight, int value, int count, int capacity) {if (weight * count >= capacity) {completePack(weight, value, capacity);return;}int k = 1;while (k < count) {zeroOnePack(k*weight, k*value, capacity);count -= k;k *= 2;}zeroOnePack(count*weight, count*value, capacity);
}int main() {int m, n;cin >> m >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {int w, v, s;cin >> w >> v >> s;if (s == 0) completePack(w, v, m);else if (s == 1) zeroOnePack(w, v, m);else multiplePack(w, v, s, m);}cout << dp[m];return 0;
}

七、有依赖的背包问题

金明的预算方案

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXN = 32005;
int main_w[65], main_v[65];
int annex_w[65][3], annex_v[65][3];
int f[MAXN];int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) {int v, p, q;cin >> v >> p >> q;if (!q) {main_w[i] = v;main_v[i] = v * p;} else {annex_w[q][0]++;annex_w[q][annex_w[q][0]] = v;annex_v[q][annex_w[q][0]] = v * p;}}for (int i = 1; i <= m; i++) {if (!main_w[i]) continue;for (int j = n; j >= main_w[i]; j--) {// 只选主件f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]] + main_v[i]);// 主件+附件1if (j >= main_w[i] + annex_w[i][1])f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]-annex_w[i][1]] + main_v[i] + annex_v[i][1]);// 主件+附件2if (j >= main_w[i] + annex_w[i][2])f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]-annex_w[i][2]] + main_v[i] + annex_v[i][2]);// 主件+附件1+附件2if (j >= main_w[i] + annex_w[i][1] + annex_w[i][2])f[j] = max(f[j], f[j-main_w[i]-annex_w[i][1]-annex_w[i][2]] + main_v[i] + annex_v[i][1] + annex_v[i][2]);}}cout << f[n];return 0;
}

八、总结与拓展

1.背包问题通用解法框架

  1. 定义状态：明确dp数组的含义

  2. 初始化状态：处理边界条件

  3. 状态转移：根据问题类型选择合适的转移方程

  4. 确定结果：找到最终状态对应的解

2.优化技巧对比

问题类型空间优化时间优化特殊技巧
01背包逆序一维无无
完全背包正序一维无无
多重背包一维二进制拆分单调队列优化
分组背包一维无组内循环
二维费用二维无两个限制条件
混合背包一维无分类处理
依赖背包一维无主附件组合

3.实际应用场景

  1. 资源分配问题

  2. 投资组合优化

  3. 生产计划制定

  4. 货物装载优化

  5. 时间管理调度

http://www.dtcms.com/wzjs/52491.html

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