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动态规划解决最小下降路径和问题

1. 题目链接

LeetCode 931. 最小下降路径和

2. 题目描述

给定一个 n x n 的整数矩阵 matrix，找到一条从第一行到最后一行的下降路径，使得路径上的数字和最小。下降路径可以从第一行的任意元素出发，每一步可以选择位于下一行正下方、左下方或右下方的元素。例如，位于 (i, j) 的元素可以下降到 (i+1, j-1)、(i+1, j) 或 (i+1, j+1)。

3. 示例分析

示例输入：

matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]

输出：13
解释：最小下降路径为 1 → 5 → 7，路径和为 1 + 5 + 7 = 13。

4. 算法思路

动态规划（Dynamic Programming）

使用动态规划解决该问题的核心思想是：定义 dp[i][j] 表示从第一行到达第 i 行第 j 列的最小路径和。为了处理边界条件（如矩阵边缘的列），我们扩展 dp 数组的边界，使其维度为 (n+1) x (n+2)。

状态转移方程

对于每个位置 (i, j)，其路径和的最小值由上一行的三个可能的位置决定：

dp[i][j] = matrix[i-1][j-1] + min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])

其中，matrix[i-1][j-1] 是当前位置的值，dp[i-1][...] 是上一行左、中、右三个位置的路径和的最小值。

初始化

• dp[0][...] = 0：第一行的所有位置初始化为0，表示从虚拟的第0行出发的路径和为0。
• 其余位置初始化为 INT_MAX，表示尚未计算。

5. 边界条件与注意事项

1. 矩阵大小为1的情况：当 n=1 时，直接返回矩阵中唯一的元素。
2. 索引转换：由于 dp 数组比原矩阵多一圈，访问 matrix 时需要将索引调整为 i-1 和 j-1。
3. 处理边缘列：在矩阵的最左列（j=1）和最右列（j=n），需要确保不会访问到无效的列（如 j=0 或 j=n+1），此时这些位置的 dp 值为 INT_MAX，不影响取最小值。

6. 代码实现

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {int n = matrix.size();vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 2, INT_MAX));// 初始化：从虚拟的第0行出发，路径和为0for (int j = 0; j < n + 2; j++) dp[0][j] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {// 状态转移：取上一行左、中、右的最小值dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + min(min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j + 1]);}}// 遍历最后一行，寻找最小值int ret = INT_MAX;for (int j = 0; j < n + 2; j++) {ret = min(ret, dp[n][j]);}return ret;}
};

代码解释

1. 初始化 dp 数组：第0行初始化为0，其他位置为 INT_MAX。
2. 填充 dp 数组：遍历每一行，根据上一行的三个相邻位置的最小值更新当前值。
3. 获取结果：遍历最后一行的所有列，找到最小值作为最终结果。

通过这种动态规划的方式，时间复杂度为 O(n²)，空间复杂度为 O(n²)，能够高效解决该问题。