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引言：排列组合的重要性

排列组合是计算机科学中的基础算法，广泛应用于密码学、数据分析、游戏开发等领域。在C++中，我们通常使用深度优先搜索（DFS）和回溯法来实现排列组合算法。本文将详细解析全排列、组合及其变种的实现原理和代码。

一、全排列算法

1.基本概念：

全排列是指从n个不同元素中取出n个元素，按照一定的顺序排列的所有可能情况。例如，元素{1,2,3}的全排列有6种：123、132、213、231、312、321。

2.算法实现：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 101; // 数据范围
int a[N];          // 存储待排列的数
int show[N];       // 存储已排列的数
int n;             // 数的个数
bool check[N];     // 标记数字是否已使用void dfs(int showid) {if (showid == n + 1) { // 完成一种排列for (int i = 1; i <= n; i++)cout << show[i] << " ";cout << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!check[i]) {         // 选择未使用的数字check[i] = true;     // 标记为已使用show[showid] = a[i]; // 放入当前位置dfs(showid + 1);     // 递归处理下一个位置check[i] = false;    // 回溯，取消标记}}
}int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];dfs(1); // 从第一个位置开始return 0;
}

3.算法解析：

1. DFS框架：使用递归实现深度优先搜索

2. 标记数组：check[]记录数字使用状态

3. 回溯机制：递归返回后撤销选择

4. 时间复杂度：O(n!) - 阶乘复杂度

二、有重复数字的全排列

1.问题特点：

当输入数组包含重复数字时，基本全排列算法会产生重复结果。例如，输入{1,1,2}会产生3种排列而不是2种。

2.优化实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 101;
int a[N];
int show[N];
int n;
bool check[N];void dfs(int showid) {if (showid == n + 1) {for (int i = 1; i <= n; i++)cout << show[i] << " ";cout << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++) {// 关键去重逻辑if (i > 1 && a[i] == a[i - 1] && !check[i - 1])continue;if (!check[i]) {check[i] = true;show[showid] = a[i];dfs(showid + 1);check[i] = false;}}
}int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];sort(a + 1, a + 1 + n); // 必须先排序dfs(1);return 0;
}

3.去重关键：

1. 排序预处理：确保相同元素相邻

2. 跳过条件：if (i>1 && a[i]==a[i-1] && !check[i-1])

   • 当前元素与前一个相同

   • 前一个元素未被使用（说明是新层级）

3. 时间复杂度：最坏情况仍为O(n!)

三、组合算法

1.基本概念：

组合是指从n个不同元素中取出r个元素，不考虑顺序。例如，从{1,2,3,4}中取2个元素的组合有6种：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}。

2.算法实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 101;
int a[N];
int show[N];
bool check[N];
int n, r; // n个数中取r个void dfs(int showid) {if (showid == r + 1) { // 选够r个数for (int i = 1; i <= r; i++)cout << show[i] << " ";cout << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++) {// 避免重复组合的关键条件if (!check[i] && a[i] > show[showid - 1]) {check[i] = true;show[showid] = a[i];dfs(showid + 1);check[i] = false;}}
}int main() {cin >> n >> r;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];sort(a + 1, a + 1 + n); // 排序确保升序show[0] = -1; // 初始值小于所有可能数dfs(1);return 0;
}

3.组合关键点：

1. 避免重复：只选择比前一个元素大的数

2. 排序预处理：确保数组有序

3. 初始值设置：show[0] = -1作为哨兵值

4. 时间复杂度：O(C(n,r)) - 组合数复杂度

四、带重复数字的组合

1.问题特点：

当输入包含重复数字时，需要避免生成重复的组合结果。

2.优化实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 101;
int a[N];
int show[N];
bool check[N];
int n, r;void dfs(int showid) {if (showid == r + 1) {for (int i = 1; i <= r; i++)cout << show[i] << " ";cout << endl;return;}for (int i = 1; i <= n; i++) {// 去重逻辑if (i > 1 && a[i] == a[i - 1] && !check[i - 1])continue;// 组合条件if (!check[i] && a[i] >= show[showid - 1]) {check[i] = true;show[showid] = a[i];dfs(showid + 1);check[i] = false;}}
}int main() {cin >> n >> r;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];sort(a + 1, a + 1 + n);show[0] = -1; // 初始哨兵值dfs(1);return 0;
}

3.去重关键：

1. 排序预处理：确保相同元素相邻

2. 跳过条件：if (i>1 && a[i]==a[i-1] && !check[i-1])

3. 组合条件：a[i] >= show[showid-1]（允许相等）

五、组合的高效实现

1.优化思路：

使用起始索引避免重复选择和标记数组

#include<iostream>
#define N 30
using namespace std;
int n, r;
int a[N]; // 存储当前组合
int vis[N]; // 标记数组void dfs(int step) {if (step == r + 1) { // 完成组合for (int i = 1; i <= r; i++)cout << a[i] << " ";cout << endl;return;}// 从上一个数开始选择for (int i = a[step - 1]; i <= n; i++) {if (!vis[i]) {a[step] = i;vis[i] = 1;dfs(step + 1);vis[i] = 0;}}
}int main() {cin >> n >> r;a[0] = 1; // 初始化起始值dfs(1);return 0;
}

2.算法优势：

1. 避免重复：通过i = a[step-1]确保顺序选择

2. 减少循环：不需要遍历所有数字

3. 空间优化：不需要存储原始数组

六、排列组合算法对比

算法类型	特点	时间复杂度	空间复杂度	关键技巧
全排列	所有元素排列	O(n!)	O(n)	标记数组、回溯
有重复全排列	处理重复元素	O(n!)	O(n)	排序、跳过条件
组合	选择r个元素	O(C(n,r))	O(n)	排序、升序选择
有重复组合	处理重复元素	O(C(n,r))	O(n)	排序、双重条件
高效组合	优化选择过程	O(C(n,r))	O(n)	起始索引