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原创 化心为海 

深入理解XGBoost（何龙 著）学习笔记（四）

3.2 线性回归

本章节首先介绍了正规方程和梯度下降的基本原理，其次介绍了模型评估方法和指标，最后通过线性回归模型预测房价。

🚜 什么是线性回归

线性回归是一种线性方法，用于对因变量y和一个或多个自变量之间的关系进行建模。如果自变量个数为1则称为一元回归分析，当有两个或两个以上自变量时，称为多元回归分析。线性回归主要解决回归问题，即对连续型变量进行预测，如房价，销售量等。

线性回归是一种解决回归问题的常用方法。在线性回归中，求解最优参数的方法是最小化其损失函数。最小化损失函数有两种方法：正规方程和梯度下降法。正规方程通过矩阵求得最优参数，梯度下降法是沿负梯度的方向一步步最小化损失函数，求解最优参数。

线性回归的目标是，对于输入向量x，预测其目标值y。例如，预测房屋价格，以y表示要预测的房屋价格，以向量x中的元素xⱼ表示房屋的特征（如房屋面积、卧室数量等）。已知很多房屋数据中，用xᵢ表示第i个房屋的特征，用yᵢ表示其房屋价格。

下面通过公式推导，演示如何使用线性回归解决连续型数据预测的问题。

因为是连续型数据的预测，我们希望找到一个函数，yᵢ = h(x)，则可以通过h(x)对未知价格的房屋进行房价预测。我们采用线性函数表示h(x),即h（x）=ωᵀx。现在的问题是如何从已知的数据中找到最优的w参数，满足任意的yᵢ = ωᵀxᵢ。即通过h(x)得到的预测值和真实值是一样的，他们之间的差值为0。在有限的数据集中并不能找到一个理想的ω，不过可以基于现有的数据集找到接近于理想值的ω。同时，采用平方误差来评估ω是否最接近理想值，公式如下：

该函数可以作为线性回归的损失函数，损失函数值越小，则ω越接近理想值。

🚜 正规方程（Normal Equation）

正规方程是线性回归中用于直接求解最优参数ω的解析方法，其核心是通过最小化平方误差损失函数推导出闭式解。以下是详细的求导过程（来源：deepseek）：

综上，正规方程中有一项 (XᵀX)⁻¹，因此，XᵀX必须可逆。当样本数小于特征数时，XᵀX的逆是不可以直接计算的。如果XᵀX不可逆，比如一些特征存在线性依赖时，一般可以考虑删除冗余特征；如果样本数小于特征数，则要删除一些特征。

#python代码实现正规方程求解示例

#python代码实现正规方程求解示例import numpy as np# 生成数据
X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3]])  # 含偏置项
y = np.array([2, 3, 4])# 正规方程求解
w = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y
print(w)  # 输出: [1. 1.]（即 w0=1, w1=1）

代码解释：

3.2.1 🚜 梯度下降法

除了正规方程意外，在求解机器学习算法的模型参数时，另一种常见的方法是梯度下降法。

1.什么是梯度？

多元函数对每个参数求偏导，然后将各个参数的偏导数组合成一个向量，该向量称为梯度。它的几何意义是函数增加最快的方向。例如，f(x,y),对参数x求偏导为∂f/∂x，对参数y求偏导为∂f/∂y，组成梯度向量(∂f/∂x, ∂f/∂y)ᵀ，简称为∇f(x,y)。函数f(x,y)在点（x0,y0）处沿着∇f(x,y)移动，其函数值增加的最快，换一句话说，如果沿着梯度的反方向，则函数值下降的最快，更容易找到最小值。

In [11]:

#梯度下降代码示意图

#梯度下降代码示意图
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义目标函数和梯度
def f(x): return x**2 - 4*x + 1
def df(x): return 2*x - 4# 梯度下降迭代
x = 50  # 初始值
alpha = 0.1
path = []
for _ in range(100):path.append(x)x = x - alpha * df(x)# 绘制函数和路径
x_vals = np.linspace(-10, 50, 100)
plt.plot(x_vals, f(x_vals), 'b-')
plt.plot(path, [f(p) for p in path], 'ro--')
plt.xlabel('x'), plt.ylabel('f(x)')
plt.show()

2.什么是梯度下降？

优化模型的目标是最小化损失函数。我们可以通过梯度下降的方法解决损失函数的问题，即沿着负梯度方向一步一步接近最小值。从一个更直观的角度理解梯度下降，加入站在山上某一处，梯度下降方向即最陡峭的下坡方向，我们沿着最陡峭的下坡方向下山， 可以最快速地到达山脚下。

运用梯度下降法能否一定可以找到全局最优解吗？并不一定，梯度下降法可能只会得到局部最优解，就像最陡峭的下坡方向不一定能直接通向山脚，可能只达到山峰的低处。

图片来源：《深入理解XGBoost:高效机器学习算法与进阶》，侵权删除

3.梯度下降算法过程

首先，确定损失函数的梯度，对于当前位置ωⱼ，梯度如下：

然后，用步长α乘以梯度，得到当前梯度下降的距离

检查梯度下降的距离是否小于阈值ε，若小于则算法停止，否则更新ω，对于ωⱼ，有

更新ω后再次检查下降距离和阈值ε的关系，重复上述步骤直至算法停止。可以看到，在计算梯度距离时会乘一个步长系数α，梯度向量决定了梯度下降的方向，而步长则决定了梯度下降的距离，还是以下山为例，步长就是沿最陡峭的方向向前走一步的距离。

4.梯度下降的方式

梯度下降法有多种方式，如批量梯度下降法、随机梯度下降法、mini-batch梯度下降法等。

🚜批量梯度下降法是每次使用所有样本来更新参数，前面介绍的方法用的就是批量梯度下降法。

🚜随机梯度下降法是每次只使用一个样本来更新参数。

这两种方法的优缺点都非常明显。批量梯度下降计算量比较大，训练速度慢，而随机梯度下降因为只需要一个样本，因此训练速度大大加快了。但随机梯度下降法仅用一个样本决定梯度的方向，导致其可能并不是最优的方向，迭代方向变化较大，函数收敛较慢。

🚜mini-batch梯度下降法是以上两种方法的折中算法，每次选取一个样本集的子集（mini-batch）进行参数更新，从而平衡了前两种方法的优缺点。

小贴士：批量梯度过程说明以及示例：(源自：deepseek)

示例如下：