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Smith-Waterman

1. 算法介绍

• 背景与目标
  Smith–Waterman 算法由 Temple F. Smith 和 Michael S. Waterman 于1981年提出，是用于生物序列（如蛋白质或 DNA）的局部比对（local alignment）经典动态规划方法。其核心目标是：

  在允许插入、缺失（gap）和错配的情况下，找到两条序列中得分最高的局部片段比对。

• 应用场景

  • 在长序列中发现高度相似的局部区域（例如功能域、保守motif）
  • 数据库搜索时比对查询序列与目标序列的最佳匹配子串
  • 模式识别与结构功能预测中局部相似性分析

• 核心思路

  1. 矩阵初始化——大小为 $(m+1)\times (n+1)$ 的得分矩阵 $H$，首行和首列均置 0；

  2. 递推填表——对每个位置 $(i,j)$ 计算：

     • 对齐 $a_i$ 与 $b_j$（match/mismatch）
     • 在 $A$ 中插入 gap
     • 在 $B$ 中插入 gap
     • 或者不延续比对（得分置 0，终止局部比对）

  3. 寻找最优——记录矩阵中的最大值及其坐标 $(i^{\ast },j^{\ast })$；

  4. 回溯——从 $(i^{\ast },j^{\ast })$ 开始，根据递推来源回溯，直到遇到得分 0，获得局部最优对齐片段。

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2. 公式及原理

2.1 符号与评分

• 序列 $\mathbf{A}=a_1{a}_2\cdots a_m$，$\mathbf{B}=b_1{b}_2\cdots b_n$。

• 匹配／错配得分函数 $s(a_i,b_j)$，常见如 BLOSUM 或简单的：

  $$s(a_i,b_j)=\{\begin{array}{ll}+\alpha ,& a_i=b_j,\\ -\beta ,& a_i\ne b_j.\end{array}$$

• 线性 gap penalty $d>0$。

2.2 初始化

$$H[i,0]=0,H[0,j]=0,\forall 0\le i\le m,0\le j\le n.$$

2.3 递推公式
对任意 $1\le i\le m$, $1\le j\le n$：

$$H[i,j]=\max \{\begin{array}{l}0,\\ H[i-1,j-1]+s(a_i,b_j),\\ H[i-1,j]-d,\\ H[i,j-1]-d.\end{array}$$

• 其中， max ⁡ { 0 , … } \max\{0,\dots\} max{0,…} 保证局部比对在得分为负时重置为 0，从而支持局部对齐。
• 最大值 ${\max }_{i,j}H[i,j]$ 对应最优局部对齐结束位置。

2.4 回溯（Traceback）
从得分最高的 $(i^{\ast },j^{\ast })$ 出发，按下列优先顺序回溯：

1. 如果 $H[i^{\ast },j^{\ast }]=H[i^{\ast }-1,j^{\ast }-1]+s(a_{i^{\ast }},b_{j^{\ast }})$，对齐 $a_{i^{\ast }}$ 与 $b_{j^{\ast }}$；
2. 否则如果 $H[i^{\ast },j^{\ast }]=H[i^{\ast }-1,j^{\ast }]-d$，对齐 $a_{i^{\ast }}$ 与 gap；
3. 否则对齐 gap 与 $b_{j^{\ast }}$；
   重复直到遇到 $H[i,j]=0$，此点即局部比对起点。

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3. 伪代码

# 输入
#   A[1..m], B[1..n]: 待比对序列
#   s(a,b): 匹配得分函数
#   d: 线性 gap penalty
# 输出
#   aligned_A, aligned_B: 局部比对结果function SmithWaterman(A, B, s, d):m ← length(A); n ← length(B)# 1) 初始化矩阵 H (m+1)x(n+1)，并记录最大得分位置for i in 0..m:H[i,0] ← 0for j in 0..n:H[0,j] ← 0max_score ← 0(end_i, end_j) ← (0, 0)# 2) 填表并追踪最大值for i in 1..m:for j in 1..n:match ← H[i-1,j-1] + s(A[i], B[j])delete ← H[i-1,j]   - dinsert ← H[i,j-1]   - dH[i,j] ← max(0, match, delete, insert)if H[i,j] > max_score:max_score ← H[i,j](end_i, end_j) ← (i, j)# 3) 回溯还原局部比对aligned_A, aligned_B ← empty stringsi, j ← end_i, end_jwhile i>0 and j>0 and H[i,j] > 0:if H[i,j] == H[i-1,j-1] + s(A[i], B[j]):aligned_A.prepend(A[i])aligned_B.prepend(B[j])i ← i-1; j ← j-1else if H[i,j] == H[i-1,j] - d:aligned_A.prepend(A[i])aligned_B.prepend('-')i ← i-1else:aligned_A.prepend('-')aligned_B.prepend(B[j])j ← j-1return aligned_A, aligned_B

• 时间复杂度：$O(m\times n)$
• 空间复杂度：$O(m\times n)$（可用带回溯链的优化或分块策略略减内存）