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终值定理的推导与理解

终值定理是控制理论和信号处理中的一个重要工具，它通过频域的拉普拉斯变换来分析时间域函数的最终稳态值。具体来说，终值定理提供了一个简便的方法，利用 $F(s)$（$f(t)$ 的拉普拉斯变换）直接计算时间域 $f(t)$ 在 $t\to \infty$ 时的稳定值。本文将从终值定理的公式入手，结合数学推导和直观解释，帮助读者理解其本质。

1. 终值定理的公式

终值定理的表达式为：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$

其中：

• $f(t)$ 是时间域的原函数；
• $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换。

这一定理的核心思想是通过 $s\to 0$ 时 $F(s)$ 的行为，捕捉系统的稳态值，从而避免直接计算时间域积分的繁琐过程。

2. 推导过程

2.1 拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换的定义为：

$$F(s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$

其中，$F(s)$ 是时间域信号 $f(t)$ 在频域的表示。通过这一变换，可以将时间域的动态行为映射到频率域，为分析带来便利。

2.2 稳态值的定义

时间域信号 $f(t)$ 的最终稳态值（若存在）定义为：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$$

我们希望将这一极限值与频域的 $F(s)$ 联系起来。为了实现这一点，考虑 $sf(t)$ 的拉普拉斯变换：

L { s f ( t ) } = s F ( s ) \mathcal{L}\{sf(t)\} = sF(s) L{sf(t)}=sF(s)

通过这一关系，我们能够从 $F(s)$ 中提取稳态信息。

2.3 为什么 $s\to 0$ 对应最终值？

$s\to 0$ 表示频率很低，此时拉普拉斯变换主要关注信号 $f(t)$ 的长期趋势。换句话说，频域中 $sF(s)$ 的低频分量反映了时间域中 $f(t)$ 的最终行为。

为了更加严谨地说明这一点，考虑拉普拉斯变换的反变换公式：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{-\infty }^{\infty }F(s)e^{st}ds$$

当 $t\to \infty$ 时，只有 $s\to 0$ 的分量对 $f(t)$ 有贡献。因此，可以得到：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$$

3. 适用条件

终值定理并非总是适用，以下条件必须满足：

1. $F(s)$ 在 $s=0$ 附近收敛；
2. $f(t)$ 的最终值存在（即系统稳定，无震荡或发散）；
3. $F(s)$ 中不包含右半平面的极点或非零的纯虚轴极点。

4. 直观解释

终值定理可以看作是在频域中观察系统的低频特性。低频部分决定了系统在长时间后的表现，而 $sF(s)$ 在 $s\to 0$ 时正是这种低频行为的代表。

通俗地说，终值定理就像一面镜子，通过 $s\to 0$ 的频率域反射出时间域的长期稳态。

打个比方，假设你往一杯水里倒入糖，系统开始时（即 $t=0$）糖在水中分布不均匀，经过时间 $t\to \infty$ 后，糖逐渐完全溶解并均匀分布，这个状态就是“最终值”。而终值定理允许我们通过频域计算，直接得出这种稳定状态，而不需要去观察整个动态变化过程。

5. 总结

终值定理是一种将时间域稳态分析转化为频域计算的方法，具有重要的理论和实用价值。其推导基于拉普拉斯变换的性质，通过频率域低频分量的分析捕捉时间域的长期趋势。尽管终值定理的适用范围有限，但在满足条件的情况下，它提供了快速分析系统稳态特性的有力工具。