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wave1,wave2实际在时域中是一样的正弦波，表达式y=sin(2πft)，其中频率f=20Hz,但是经过快速傅里叶FFT变换之后，wave2的频域图中除了有冲激响应的峰之外，还出现了额外的频率元素，这个就是频谱泄露(Spectrum Leakage)。
很显然，频谱泄露和信号泄露无关，从根本上说，它就是算法引起的。那同样的快速傅里叶算法,怎么会有这个差异？
简单说来，造成这个问题的原因是：采样信号的相位在始端和终端不连续。
从上面图中，可以发现，wave1的时域图形是完整的周期，而wave2不是。当我们知道频率的时候，当然可以很容易算出周期，但是我们实际应用中，FFT的目的就是为了得到复杂信号的各个频率分量，所以周期也是未知的，也无法同时满足所有信号频率。
这个时候，我们需要采用加窗的方式来减轻频谱泄露。
加窗，就是通过算法让采样信号首尾不连续的相位趋向连续。这种窗函数有很多，不同的窗函数对应不同的应用场景会有比较好的效果，其中汉明(Hanmming)窗是一个比较好的窗函数。
我们可以调用了Python中的numpy的hamming窗函数来实现。把窗函数和原信号函数相乘，就得到了处理过的时域采样信号，然后再进行快速傅里叶转换。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# ======================
# 参数设置
# ======================
sample_rate = 1000 # 采样率 (Hz)
signal_freq = 20 # 信号频率 (Hz)
duration_perfect = 1.0 # 完整周期时长 (整数倍周期)
duration_leak = 1.02 # 非完整周期时长 (制造频谱泄漏)# ======================
# 信号生成函数
# ======================
def generate_signal(duration):"""生成正弦波信号"""n_samples = int(sample_rate * duration) # 关键修正：确保样本数正确t = np.linspace(0, duration, n_samples)return t, np.sin(2 * np.pi * signal_freq * t)# ======================
# 计算FFT函数
# ======================
def compute_fft(signal, sample_rate):"""计算信号的FFT"""n = len(signal)freq = np.fft.fftfreq(n, 1/sample_rate)fft_values = np.fft.fft(signal)magnitude = np.abs(fft_values) / n * 2 # 幅度归一化return freq[:n//2], magnitude[:n//2] # 仅取正频率部分# ======================
# 生成原始信号
# ======================
# 完整周期的信号 (无泄漏)
t1, y1 = generate_signal(duration_perfect)
freq1, mag1 = compute_fft(y1, sample_rate)# 非完整周期的信号 (有泄漏)
t2, y2 = generate_signal(duration_leak)
freq2, mag2 = compute_fft(y2, sample_rate)# ======================
# 加窗处理
# ======================
hamming_window = np.hamming(len(y2)) # 使用正确样本数生成汉明窗
y3 = y2 * hamming_window
freq3, mag3 = compute_fft(y3, sample_rate)# ======================
# 可视化
# ======================
plt.figure(figsize=(12, 10))# ---- 原始信号对比 ----
# 时域波形
plt.subplot(3, 2, 1)
plt.plot(t1, y1)
plt.title('Perfect Signal (Time Domain)\n{}周期'.format(int(signal_freq*duration_perfect)))
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.ylim(-1.5, 1.5)plt.subplot(3, 2, 3)
plt.plot(t2, y2, color='orange')
plt.title('Leaky Signal (Time Domain)\n{:.2f}周期'.format(signal_freq*duration_leak))
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.ylim(-1.5, 1.5)# 频域分析
plt.subplot(3, 2, 2)
plt.plot(freq1, mag1)
plt.title('Frequency Spectrum (No Leakage)')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.xlim(0, 50) # 聚焦关注频段
plt.grid(True)plt.subplot(3, 2, 4)
plt.plot(freq2, mag2, color='orange')
plt.title('Frequency Spectrum (With Leakage)')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.xlim(0, 50)
plt.grid(True)# ---- 加窗处理效果 ----
# 时域窗函数
plt.subplot(3, 2, 5)
plt.plot(t2, hamming_window, color='green')
plt.title('Hamming Window (Time Domain)')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)# 加窗后频域
plt.subplot(3, 2, 6)
plt.plot(freq3, mag3, color='red')
plt.title('Windowed Signal Spectrum')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.xlim(0, 50)
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()进一步优化建议：
添加交互
from ipywidgets import interact@interact(freq=(10, 50, 1), duration=(0.5, 2.0, 0.1))
def interactive_plot(freq=20, duration=1.0):# 更新信号生成和绘图逻辑...添加信噪比指标
def calculate_snr(magnitude, target_freq, bw=5):main_lobe = np.where((freq > target_freq-bw) & (freq < target_freq+bw))[0]noise_floor = np.delete(magnitude, main_lobe)return 10*np.log10(np.max(magnitude)**2 / np.mean(noise_floor**2))支持多窗
windows = {'Hamming': np.hamming,'Hann': np.hanning,'Blackman': np.blackman,'Flattop': lambda n: np.flatTop(n)
}