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思路：
- 错解：对于这道题而言，有的同学会选择用计算每次碰撞的坐标，直到坐标等于原点的方法来做，但这种方法实现起来比较繁琐，并且由于碰撞点的坐标有可能是浮点数，而浮点数会丢失精度，如果碰撞次数非常多，那么精度损失会无法承受
- 正解：以宏观的角度观察题目，看看有什么特点。下面分享两种方法。
方法一：运动分解求解（最大公约数）
详细请看我之前的博客。点击链接
方法二：镜像求解（最小公倍数）
原理：
对于一次长边的碰撞，可以看成沿长边翻转后，继续向镜像中前进，如下图
同理，对于一次短边的碰撞，也可以看成沿短边翻转后，继续向镜像中前进，如下图
思路：
有了上面的原理，我们可以推出：当小球一直沿着镜像中“直线”出发，第一次到达某个镜像原点的时候，就是正解的情况。
我们继续观察镜像原点坐标的规律，如下图红点
我们可以发现对于每个镜像原点的坐标，满足以下条件：
（x,y）∈ {x是2X的倍数，y是2Y的倍数}
其中X是题目长方形的长，Y是长方形的宽
有了上面的发现后，我们只需要找到同时符合x，y方向上分运动的路程分别满足以上条件的时间t即可，找到了时间 t，我们就可以用以下公式来求解答案
S = t * V(和)
其中：
- t为小球返回原点所需总时间
- V(和) 为合速度
- S 为题目要求的总路程
需要注意的是，题目给的分速度是比的形式，但我们仍然可以看作dx是15，dy是17
暴力算法实现步骤
- 遍历单位时间 t
- 找到同时符合x，y方向坐标的的t
- 输出结果保留2位小数
注意事项：
t可以为单位时间的原因(整数)是，互质的两个数只有乘以一个整数，结果才能都是整数，dx和dy互质，而镜像原点xy坐标都为整数，也就是说到达原点的情况下时间t一定是整数，固可用整数遍历t。
暴力代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {int X=343720,Y=233333,dx = 15,dy =17;int t=1;for(t=1;;++t){if((dx*t) % (2*X) == 0 && (dy*t) % (2*Y) == 0){break;}}double ans = t * sqrt(15*15+17*17);printf("%.2lf", ans);return 0;
}输出结果
1100325199.77
算法优化
对于某一分量如x方向，位移必须是2X的整数倍，则第一次碰撞在最小公倍数lcm(dx，2X)上(dx为x的速率，X为宽)，第二次在2*lcm(dx，2X)上，以此类推，则时间步长可以设置为lcm(dx，2X)/dx，即路程除以速度，后面遍历按照x或y方向步长增倍即可。
优化后的代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{int tem = x%y;while(x%y){x=y;y=tem;tem = x%y;}return y;
}
int lcm(int x,int y)
{return x*y/gcd(x,y);
}
int main() {int X=343720,Y=233333,dx = 15,dy =17;int tem=lcm(dx,2*X)/dx;int t=1;for(t=tem; ;t += tem){if((dx*t) % (2*X) == 0 && (dy*t) % (2*Y) == 0){break;}}double ans = t * sqrt(15*15+17*17);printf("%.2lf", ans);return 0;
}总结
通过上述方法，我们了解了小球反弹的另一种解题思路：镜像思路，我们可以准确计算出小球运动的总路程，并保留两位小数作为最终答案。这种方法避免了浮点数精度损失的问题，同时简化了计算过程，提高了效率。