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第三章：Floorplanning（布局规划）
在VLSI物理设计中，布局规划（Floorplanning）的目标是确定芯片上模块（Blocks）的位置和尺寸，确保无重叠且优化面积、线长、时序等指标。第三章聚焦四种经典算法，涵盖切片布局（Slicing Floorplan）、非切片布局（Non-Slicing Floorplan）及优化方法，以下是详细介绍：
1. Stockmeyer算法（切片布局方向优化）
核心目标
给定切片布局（由递归横纵切割形成的树状结构），优化模块方向（旋转90度与否）以最小化总面积。
核心思想
- 切片树表示：每个内部节点表示切割（Horizontal/Horizontal, Vertical/Vertical），叶子节点为模块。
- 自底向上计算：对每个子树计算可能的尺寸组合（宽度-高度对），合并时考虑方向对面积的影响。
- 自顶向下选择：根据最优子树尺寸，确定模块实际方向和位置。
关键步骤
- 构建切片树：如输入为模块集合及切割顺序，生成树结构（图3.1）。
- 底向上合并：
- 对每个切割节点，合并左右/上下子树的尺寸，考虑模块旋转（如垂直切割时按宽度递增、高度递减排序子树尺寸）。
- 示例：合并子树尺寸 ((2,3)) 和 ((2,4)) 为 ((4,4))（垂直切割，宽度相加，高度取最大）。
- 顶向下确定方向：根据最优根节点尺寸，递归确定每个模块的旋转方向（图3.2）。
优势与应用
- 仅优化切片布局的模块方向，不改变切割结构。
- 时间复杂度 (O(n \cdot d))，适用于结构化布局（如标准单元行、硬核模块排列）。
2. 规范化波兰表达式（Normalized Polish Expression, NPE）
核心目标
高效表示切片布局，支持局部搜索优化（如模拟退火），通过三种移动操作生成相邻解。
核心思想
- 表达式结构：形如
25V1H374VH6V8VH，其中数字为模块，H/V表示切割方向，对应切片树的后序遍历。 - 三种移动操作：
- M1：交换相邻模块（如交换3和7，图3.4）。
- M2：反转连续切割序列（如将
VH转为HV，图3.5）。 - M3：交换模块与切割符（如交换6和V，图3.6）。
- 评估与搜索：通过切割树计算布局尺寸和线长，结合模拟退火优化面积。
关键步骤
- 初始化表达式：随机生成合法切片布局的NPE（满足“投票属性”：操作数始终多于操作符）。
- 局部搜索：随机选择一种移动操作，生成新表达式，计算面积/线长，接受更优解或依概率接受差解（模拟退火）。
- 示例：通过M1/M2/M3操作调整表达式，逐步减少面积（图3.7）。
优势与应用
- 简洁表示切片布局，支持高效邻域搜索，适用于启发式优化（如模拟退火）。
- 局限：仅处理切片布局，非切片布局需其他方法（如Sequence Pair）。
3. 基于整数线性规划（ILP）的布局规划算法
核心目标
通过数学规划求解软模块（尺寸可变）和硬模块（尺寸固定）的布局，优化面积、线长或满足约束（如固定外形、模块旋转）。
核心思想
- 变量定义：
- 连续变量：模块坐标 ((x_i, y_i))、尺寸 ((w_i, h_i))（软模块）。
- 整数变量：模块旋转（(z_i=1) 表示旋转90度）、相对位置关系（如 (x_{ij}=1) 表示模块i在j右侧）。
- 约束条件：
- 无重叠：通过相对位置变量确保 (x_i + w_i ≤ x_j) 或 (x_j + w_j ≤ x_i)（水平方向），同理垂直方向。
- 边界限制：模块位于芯片边界内，软模块尺寸满足宽高比约束（如 (0.5 ≤ w_i/h_i ≤ 2)）。
- 目标函数：最小化芯片面积（width × height），或加权线长。
关键步骤
- 建模：将布局问题转化为ILP，如最小化 (y^*)（芯片高度），约束模块坐标和尺寸（图3.8-3.11）。
- 求解：使用商业求解器（如GLPK）求解，处理固定模块旋转（图3.9）和软模块线性近似（图3.10）。
- 示例：四模块固定布局，通过ILP求解得到无重叠且面积最小的坐标（图3.8）。
优势与应用
- 支持复杂约束（固定模块、旋转、软模块），数学上保证局部最优。
- 局限：变量和约束数随模块数增长，适用于中小规模设计。
4. 序列对表示法（Sequence Pair Representation）
核心目标
高效表示非切片布局，通过两个序列编码模块间的相对位置，支持灵活的布局生成与优化。
核心思想
- 双序列编码：两个序列 (SP(S_1, S_2))，分别表示模块在水平和垂直方向的顺序。
- (S_1) 中模块顺序决定左右关系：若模块i在j左侧，则i在(S_1)中出现在j前。
- (S_2) 中模块顺序决定上下关系：若模块i在j下方，则i在(S_2)中出现在j前。
- 约束图构建：
- 水平约束图（HCG）：节点为模块，边表示“左侧/右侧”关系，最长路径确定布局宽度。
- 垂直约束图（VCG）：节点为模块，边表示“下方/上方”关系，最长路径确定布局高度。
关键步骤
- 序列生成：随机生成合法序列对（无冲突的相对顺序）。
- 布局计算：
- 从HCG计算每个模块的x坐标（源点到节点的最长路径），VCG计算y坐标（图3.14）。
- 示例：序列对 (SP1=(17452638, 84725361)) 对应的HCG和VCG最长路径分别为11和15，确定布局宽度11、高度15（图3.15）。
- 局部搜索：交换序列中的模块对（如M1/M2操作），重新计算约束图，优化面积（图3.16-3.19）。
优势与应用
- 唯一表示非切片布局，支持复杂模块排列，适用于模拟退火等全局优化。
- 广泛用于现代布局工具（如Parquet），平衡灵活性与计算效率。
5. 算法对比与总结
| 算法 | 布局类型 | 优化目标 | 模块支持 | 关键技术 | 典型示例 |
|---|---|---|---|---|---|
| Stockmeyer | 切片布局 | 面积（方向优化） | 硬模块（固定尺寸） | 切片树遍历、尺寸合并 | 图3.1-3.2（旋转优化后面积117） |
| NPE | 切片布局 | 面积/线长 | 硬模块 | 三种移动操作、模拟退火 | 图3.7（M1/M2/M3调整布局） |
| ILP-based | 混合（软/硬模块） | 面积/约束满足 | 软模块（可变尺寸） | 整数线性规划、松弛近似 | 图3.8-3.11（含旋转和软模块） |
| Sequence Pair | 非切片布局 | 面积/线长 | 硬模块 | 双序列约束图、最长路径计算 | 图3.15-3.19（非切片布局） |
核心价值
- 切片布局：Stockmeyer和NPE适用于结构化切割，适合标准单元设计，面积优化高效。
- 非切片布局：Sequence Pair提供灵活表示，支持任意模块排列，适合复杂芯片（如包含大硬核的设计）。
- 约束处理：ILP算法通过数学建模处理复杂约束（旋转、软模块），但计算成本较高。
第三章的算法覆盖了从传统切片布局到现代非切片布局的核心方法，为后续布局（Placement）和布线（Routing）提供了基础的结构规划，是VLSI物理设计中平衡面积、性能与约束的关键环节。