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1 从状态矩阵求运动模态的特征根、求传递函数矩阵

求特征根

系统的状态空间方程为：
$$\dot{x}=Ax+Bu\text{\hspace{1em}(1)}$$$$y=Cx+Du\text{\hspace{1em}(2)}$$
对式（1）两端取Laplace变换，写为运动方程：
$$(sI-A)x=Bu\text{\hspace{1em}(3)}$$方程的特征多项式为
$$\rho (s)=det(sI-A)\text{\hspace{1em}(4)}$$即可求A的特征根

求传递函数矩阵

根据$$G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D\text{\hspace{1em}(5)}$$推导过程见参考文献[2]

2 编写MATLAB程序

使用参考文献[3]中的算例：
$$x=\left(\begin{array}{c}\Delta V\\ \Delta \alpha \\ \Delta \theta \\ \Delta q\end{array}\right)$$
$$u=\left(\begin{array}{c}{\delta }_e\end{array}\right)$$

%% Ex_6_2
% Liang
% 20250401%% Clear
clear;%% 定义系统矩阵
A = [-0.014 ,  3.5432, -32.2   ,  0     ;-0.0001, -0.806 ,   0     ,  1     ;0     ,  0     ,   0     ,  1     ;0.0007, -8.8077,   0     , -1.3442];B = [0;-0.042;0;-4.5724];C = [1, 0, 0, 0;0, 1, 0, 0;0, 0, 1, 0;0, 0, 0, 1];D = zeros(4, 1);%% 求特征值
% 第一种方法
egi_A1 = eig(A);% 第二种方法
I4 = eye(4);
syms s;
Ts = s*I4 - A;
R = solve(det(Ts), s);
egi_A2 = vpa(R);%% 求传递函数矩阵
Gs = C*(inv(Ts))*B;%% 增加初始扰动，观察纵向参数响应
% x0 = [0; 5/180*pi; 0; 0];  % 初始扰动
x0 = [0; 0; 0; 0];  % 初始扰动
% u = [0];
% u = @(t) 1/180*pi;
u = @(t) (t>=1) * 1/180*pi;%% 定义微分方程
odefun = @(t, x) A * x + B * u(t);%% 求解时间范围
tspan = [0, 300];%% 使用 ode45 求解
[t, x] = ode45(odefun, tspan, x0);%% 绘制响应曲线
figure(40101);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State Variables');
title('State Response via ODE45');subplot(4,1,1);
plot(t, x(:,1), 'b'), 
legend('\Delta V'); 
grid on;subplot(4,1,2);
plot(t, x(:,2)*180/pi, 'r');
legend('\Delta \alpha');
grid on;subplot(4,1,3)
plot(t, x(:,3)*180/pi, 'c');
legend('\Delta \theta');
grid on;subplot(4,1,4)
plot(t, x(:,4)*180/pi, 'm');
legend('q');
grid on;% 设置全屏显示
set(gcf,'outerposition',get(0,'screensize'));

[1] 方振平，陈万春，张曙光. 航空飞行器飞行动力学[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2005.
[2] 吴麒，王诗宓. 自动控制原理（第二版）（上册）[M]. 北京：清华大学出版社，2006.
[3] 刘世前. 现代飞机飞行动力学与控制（第2版）[M]. 上海：上海交通大学出版社，2018.