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1 逻辑回归介绍

1.1 背景介绍

逻辑回归的过程可以概括为：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏。 Logistic 回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于二分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别）。回归模型中，y 是一个定性变量，比如 y=0 或 1，logistic 方法主要应用于研究某些时间发生的概率。Logistic 回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，Logistic 回归的因变量是离散变量；多重线性回归的因变量是连续变量。

1.2 原理

假设有一场球赛，我们有两支球队的所有出场球员信息、历史交锋成绩、比赛时间、主客场、裁判和天气等信息，根据这些信息预测球队的输赢。假设比赛结果记为 y，赢球标记为 1，输球标记为 0，这就是一个典型的二元分类问题，可以用逻辑回归算法来解决。从这个例子里可以看出，逻辑回归算法的输出 y∈{0,1}是个离散值，这是与线性回归算法的最大区别。

1.2.1 预测函数

需要找出一个预测函数模型，使其值输出在[0,1]之间。然后选择一个基准值，如 0.5，如果算出来的预测值大于 0.5，就认为其预测值为 1，反之则其预测值为 0。我们选择 g(z)=1/(1+e−z)作为预测函数。函数g(z)称为 Sigmoid 函数，也称为 Logistic 函数。

当 z=0 时，g(z)=0.5。
当 z>0 时，g(z)>0.5，当 z 越来越大时，g(z)无限接近于 1。
当 z<0 时，g(z)<0.5，当 z 越来越小时，g(z)无限接近于 0。

这正是我们想要的针对二元分类算法的预测函数。问题来了，怎样把输入特征和预测函数结合起来呢？
结合线性回归函数的预测函数 hθ(x)=θTx，假设令 z(x)=θTx，则逻辑回归算法的预测函数如下：
hθ(x)=g(z)=g(θTx)=1/(1+e−θTx)。
下面解读预测函数。
hθ(x)表示在输入值为 x，参数为 θ 的前提下 y=1 的概率。用概率论的公式可以写成：hθ(x)=P(y=1∣x,θ)，即在输入 x 及参数 θ 条件下 y=1 的概率。由条件概率公式可以推导出 P(y=1∣x,θ)+P(y=0∣x,θ)=1。对二分类来说，这是一个非黑即白的世界。

1.2.2 判定边界

逻辑回归算法的预测函数由以下两个公式给出：
hθ(x)=g(θTx) 和 g(z)=1/(1+e−z)

假定 y=1 的判定条件是 hθ(x)≥0.5，y=0 的判定条件是 hθ(x)≤0.5，所以 θTx=0 就是我们的判定边界。假定有两个变量 x1，x2，其逻辑回归预测函数是 hθ(x)=g(θ0+θ1x1+θ2x2)。假设给定参数 θ=[−3 1 1]T，那么得到判定边界为−3+x1+x2=0。
如果预测函数是多项式 hθ(x)=g(