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流匹配（Flow Matching）：从理论到实践

引言

近年来，扩散模型（Diffusion Models）成为生成建模领域的热门技术，它们依靠逐步加噪和去噪的方式生成高质量数据。然而，扩散模型在采样时需要数百甚至上千步去噪，计算开销较大。相比之下，流匹配（Flow Matching） 提供了一种新的视角，它直接学习数据的演化流（vector field），可以通过求解常微分方程（ODE）高效生成数据，减少推理时间。

在本篇博客中，我们将详细介绍流匹配的基本原理 (更深入的理解请移步笔者的另一篇博客流匹配（Flow Matching）教程)，并结合 PyTorch 代码实现流匹配的训练和生成过程，帮助你掌握这一技术。

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1. 流匹配的基本原理

流匹配是一种基于常微分方程（ODE）的生成方法，其核心思想是学习一个连续时间演化的向量场 ( $\mathbf{v}(x,t)$ )，使数据从噪声流动到目标分布。数学上，这个演化过程可以描述为：

$$\frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}=\mathbf{v}(\mathbf{x}(t),t)$$

其中：

• ( $\mathbf{x}(t)$ ) 表示数据在时间 ( $t$ ) 的状态；
• ( $\mathbf{v}(x,t)$ ) 是向量场，描述了数据随时间的变化趋势；
• 该方程的初始条件通常设定为噪声，最终状态 ( $\mathbf{x}(0)$ ) 应该符合目标数据分布。

1.1 训练：学习向量场

流匹配的训练目标是让模型学习到正确的向量场，使得在任意时间点 ( $t$ )，数据都沿着正确的轨迹演化。具体来说，我们通过构造一个参考概率路径（Reference Probability Path） ( $x_t$ )，然后训练模型的输出 ( ${\mathbf{v}}_{\theta }(x,t)$ ) 逼近真实速度 ( $\mathbf{u}(x_t,t)$ )。

训练损失函数为均方误差（MSE）：
$$\mathcal{L}(\theta )={\mathbb{E}}_{x_1,t}\left[\Vert {\mathbf{v}}_{\theta }(x_t,t)-\mathbf{u}(x_t,t){\Vert }^2\right]$$
其中：

• ( $x_1$ ) 来自目标数据分布；
• ( $x_t$ ) 是根据已知路径生成的中间状态；
• ( $\mathbf{u}(x_t,t)$ ) 是真实的速度。

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2. 代码实现：训练流匹配模型

下面的代码实现了一个二维向量场网络，用于训练流匹配模型，使其能够学习数据从噪声流动到目标分布的路径。
具体原理和代码注释请参考笔者的另一篇博客：流匹配（Flow Matching）教程，这里主要在于看一下它是如何反向求解ODE的。

2.1 定义向量场网络

我们使用一个简单的多层感知机（MLP）来拟合 ( $\mathbf{v}(x,t)$ )：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optimtorch.manual_seed(42)# 定义二维向量场网络
class VectorField(nn.Module):def __init__(self):super(VectorField, self).__init__()self.net = nn.Sequential(nn.Linear(2 + 1, 128),  # 输入：x1, x2, tnn.ReLU(),nn.Linear(128, 128),nn.ReLU(),nn.Linear(128, 2)  # 输出：u1, u2)def forward(self, t, x):t_input = t.unsqueeze(-1).expand(x.size(0), 1)inp = torch.cat([t_input, x], dim=1)return self.net(inp)

2.2 采样路径：构造条件概率路径

为了训练流匹配模型，我们需要一个参考路径，即从目标数据分布 ( $q(x_1)$ ) 到噪声的路径。这里我们使用线性插值路径：
$$x_t=t{x}_1+(1-t)ϵ,ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)$$

并计算对应的真实速度场：

# 生成条件路径 x_t 和真实速度 u_true
def sample_conditional_path(x1, t, sigma_min=0.0):t = t.view(-1, 1)mu_t = t * x1sigma_t = (1 - t) + t * sigma_mineps = torch.randn_like(x1)x_t = mu_t + sigma_t * epsdot_mu_t = x1dot_sigma_t = -1.0 + sigma_minterm1 = (dot_sigma_t / sigma_t) * (x_t - mu_t)term2 = dot_mu_tu_true = term1 + term2return x_t, u_true

2.3 训练循环

训练目标是让模型输出 ( ${\mathbf{v}}_{\theta }(x,t)$ ) 尽可能逼近真实速度 ( $u(x_t,t)$ )：

# 训练
device = torch.device('cpu')
model = VectorField().to(device)
optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=1e-3)# 目标数据分布（两个高斯团）
def sample_target_data(batch_size):comp = torch.randint(0, 2, (batch_size, 1))centers = torch.tensor([[-4.0, 0.0], [4.0, 0.0]])center = centers[comp.view(-1)]return center + torch.randn(batch_size, 2)# 训练循环
for step in range(10000):model.train()batch_size = 128t = torch.rand(batch_size, device=device)x1 = sample_target_data(batch_size).to(device)x_t, u_true = sample_conditional_path(x1, t)u_pred = model(t, x_t)loss = ((u_pred - u_true) ** 2).mean()optimizer.zero_grad()loss.backward()optimizer.step()if step % 1000 == 0:print(f"Step {step}, loss={loss.item():.4f}")

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3. 生成过程：求解反向 ODE

训练完成后，我们需要从噪声 ( $x_T\sim \mathcal{N}(0,I)$ ) 生成数据 ( $x_0$ )。由于 ODE 具有时间可逆性，我们可以使用 ODE 求解器（如 Runge-Kutta 方法）反向求解：

from torchdiffeq import odeint# 反向ODE函数
class ReverseODEFunc(nn.Module):def __init__(self, model):super().__init__()self.model = modeldef forward(self, t, x):return -self.model(t, x)# 生成样本
def generate_samples(model, batch_size=1024, timesteps=100):t_eval = torch.linspace(1, 0, timesteps)  # 反向时间步xT = torch.randn(batch_size, 2)  # 从高斯噪声开始ode_func = ReverseODEFunc(model)x0 = odeint(ode_func, xT, t_eval, method='rk4')[-1]  # 反向求解ODEreturn x0.detach().cpu()# 生成数据
samples = generate_samples(model)

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4. 总结

✅ 流匹配学习向量场，从而能够通过ODE求解器高效生成数据
✅ 相比扩散模型，流匹配可以减少采样步数，提高生成速度
✅ 本文代码实现了流匹配的训练和生成，完整复现了该方法

流匹配是生成建模的新方向，随着研究的深入，它有望成为扩散模型之外的另一种强大工具！

后记

2025年2月26日20点39分于上海，在GPT 4o大模型辅助下完成。