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怎么做网站跟域名,互联网广告代理商,给我免费观看片在线观看,wordpress 仪表盘隐藏文章目录 习题790.多米诺和托米诺平铺 对于一个给定的递推公式,例如dp[i] dp[i-1] * a dp[i-2] * b,那么常用的做法,肯定是使用o(n)的时间复杂度进行线性求解,但是如果 n 10 18 n{10}^{18} n1018,那么肯定超时的,这…

文章目录

  • 习题
    • 790.多米诺和托米诺平铺

  • 对于一个给定的递推公式,例如dp[i] = dp[i-1] * a + dp[i-2] * b,那么常用的做法,肯定是使用o(n)的时间复杂度进行线性求解,但是如果 n = 10 18 n={10}^{18} n=1018,那么肯定超时的,这个时候就需要使用到矩阵快速幂,其实也就是使用矩阵运算+快速幂进行求解递归结果

矩阵乘法

  • 咱们先手搓一下矩阵乘法
  • 这是一个 o ( n 3 ) o(n^3) o(n3)时间复杂度的暴力做法,那么如何快速记忆?
    • 矩阵AB的形状分别是a*bb*c,结果矩阵C的形状是a*c,所以最外层循环是rang(a),中间一层的循环是range(c),最内层循环是range(b),最内层循环用于将矩阵A和B对应位置的元素相乘再进行求和
# 矩阵乘法 A @ B
def matrix_multiply(A, B):m, n = len(A), len(B[0])C = [[0] * n for _ in range(m)]for i in range(m):for j in range(n):for k in range(len(B)):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return C

快速幂

  • 快速幂是一种思想!将幂次的指数进行二分拆解,在o(logn)时间复杂度内求解出幂次而不在乎底的形式(正常来说就是数,在这里就替换成矩阵!不过无所谓只要能乘起来即可)
# 矩阵快速幂,A ^ n @ B ,用于求解 矩阵 A 的 n 次幂,然后再乘上 矩阵 B
# 矩阵快速幂 求解A ^ n * B 
def matrix_power(A, n, B):res = B while n > 0:if n & 1:res = matrix_multiply(res, A)A = matrix_multiply(A, A)n >>= 1return res

习题

对于习题,其实只要是递推公式,都可以使用矩阵快速幂来快速求解,当然这也是当n>10^7左右的时候,使用线性时间会超时的情况

790.多米诺和托米诺平铺

790.多米诺和托米诺平铺

在这里插入图片描述
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  • 思路分析:上面的题目的递推公式比较难想,建议可以去看灵神的题解,这里主要是使用这个题目作为例子,说明矩阵快速幂的使用

灵神题解

  • 递推公式f[i] = f[i - 1] * 2 + f[i - 3]
  • 根据等式右边,涉及到f[i-1]和f[i-3],虽然没有涉及f[i-2],所以右边设置为3*1的矩阵,左边的话,为了对应也设置一个3*1的矩阵

在这里插入图片描述

  • 然后根据这个递推公式确定权重矩阵A

在这里插入图片描述

MOD = 1_000_000_007# a @ b,其中 @ 是矩阵乘法
def mul(a: List[List[int]], b: List[List[int]]) -> List[List[int]]:return [[sum(x * y for x, y in zip(row, col)) % MOD for col in zip(*b)]for row in a]# a^n @ f
def pow_mul(a: List[List[int]], n: int, f: List[List[int]]) -> List[List[int]]:res = fwhile n:if n & 1:res = mul(a, res)a = mul(a, a)n >>= 1return resclass Solution:def numTilings(self, n: int) -> int:if n == 1:return 1f2 = [[2], [1], [1]]m = [[2, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]fn = pow_mul(m, n - 2, f2)return fn[0][0]
http://www.dtcms.com/wzjs/474906.html

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