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从回溯到记忆化搜索再到递推

一、回溯（递归暴力搜索）

回溯就是尝试所有可能的选择。

遇到一个问题时，递归地做选择，直到到达终点，然后回到上一步换一种选择继续试。

• 特点：不管有没有用过之前的计算结果，每次都重新算一遍。
• 优点：简单，直观。
• 缺点：效率极低，重复计算，指数级爆炸。

形象理解：在一棵决策树上，暴力走遍所有路径。

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二、记忆化搜索（递归 + 记忆）

记忆化搜索是在回溯的基础上优化的。

就是在递归的时候，把算过的子问题结果记下来，下次遇到同样的子问题就直接用，不用再算。

• 特点：还是递归，但是每个子问题只算一次。
• 优点：大量避免重复计算，时间复杂度从指数级降到多项式级。
• 核心思想：记录状态 → 剪枝

形象理解：在走决策树的过程中，遇到同一棵子树，直接抄答案。

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三、递推（动态规划，自底向上）

递推是去掉递归的做法。

明确每一个子问题的定义（也叫做状态），

然后根据小的状态一步步算出大的状态，按一定顺序推进。

• 特点：不需要函数调用栈，节省开销。
• 优点：效率最高，容易进行空间优化。
• 核心思想：找到状态转移关系，控制计算顺序

形象理解：像搭积木一样，一块块从底部搭上去。

题目1：打家劫舍（House Robber）

1. 递归（回溯）

   思路：对第 i 间房可“偷”或“不偷”，暴力枚举所有方案，时间复杂度 O(2^n)。

   int rob(int[] nums, int i) {if (i >= nums.length) return 0;return Math.max(nums[i] + rob(nums, i + 2), rob(nums, i + 1));
   }

2. 记忆化搜索

   在递归基础上用 memo[i] 缓存已算结果，避免重复调用，时间复杂度降为 O(n)。

   int[] memo;
   int rob(int[] nums, int i) {if (i >= nums.length) return 0;if (memo[i] != -1) return memo[i];int res = Math.max(nums[i] + rob(nums, i + 2), rob(nums, i + 1));return memo[i] = res;
   }

3. 自底向上 DP

   定义 dp[i] 为从第 i 间房到末尾能偷到的最大金额，则：

   dp[n] = dp[n+1] = 0
   for (i = n-1; i >= 0; i--) {dp[i] = Math.max(nums[i] + dp[i+2], dp[i+1]);
   }

   最终返回 dp[0]。

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题目2：目标和（Target Sum）

1. 递归（回溯）

   对每个元素选择“+”或“-”，暴力枚举，时间 O(2^n)。

   int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {return dfs(nums, 0, 0, target);
   }
   int dfs(int[] nums, int i, int sum, int target) {if (i == nums.length) return sum == target ? 1 : 0;return dfs(nums, i + 1, sum + nums[i], target)+ dfs(nums, i + 1, sum - nums[i], target);
   }

2. 记忆化搜索

   缓存 (i, sum) 状态到 Map 或二维数组，避免重复，复杂度 O(n·sum)。

   Map<String,Integer> memo;
   int dfs(int[] nums, int i, int sum, int target) {String key = i + "," + sum;if (i == nums.length) return sum == target ? 1 : 0;if (memo.containsKey(key)) return memo.get(key);int ways = dfs(nums, i + 1, sum + nums[i], target)+ dfs(nums, i + 1, sum - nums[i], target);memo.put(key, ways);return ways;
   }

3. 自底向上 DP（子集和转化）

   令 P = (sum(nums) + target) / 2，统计凑成 P 的子集方案数，定义 dp[j] 为和为 j 的方案数：

   
   dp[0] = 1
   for (int num : nums) {for (int j = P; j >= num; j--) {dp[j] += dp[j - num];}
   }

   最后返回 dp[P]。

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题目3：零钱兑换 II（Coin Change II）

1. 递归（回溯）

   枚举每种面额取与不取，时间复杂度指数级。

   int change(int amount, int[] coins) {return dfs(coins, amount, 0);
   }
   int dfs(int[] coins, int rem, int i) {if (rem == 0) return 1;if (i == coins.length || rem < 0) return 0;return dfs(coins, rem - coins[i], i)+ dfs(coins, rem, i + 1);
   }

2. 记忆化搜索

   用 memo[i][rem] 缓存子问题，时间降为 O(n·amount)。

   int[][] memo;
   int dfs(int[] coins, int rem, int i) {if (rem == 0) return 1;if (i == coins.length || rem < 0) return 0;if (memo[i][rem] != -1) return memo[i][rem];int ans = dfs(coins, rem - coins[i], i)+ dfs(coins, rem, i + 1);return memo[i][rem] = ans;
   }

3. 自底向上 DP

   定义 dp[j] 为凑成金额 j 的组合数：

   dp[0] = 1
   for (int coin : coins) {for (int j = coin; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coin];}
   }

   返回 dp[amount]。

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题目4：最长公共子序列（LCS）

1. 递归（暴力）

   int lcs(String s1, String s2, int i, int j) {if (i == s1.length() || j == s2.length()) return 0;if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {return 1 + lcs(s1, s2, i + 1, j + 1);}return Math.max(lcs(s1, s2, i + 1, j),lcs(s1, s2, i, j + 1));
   }

2. 记忆化搜索

   int[][] memo;
   int lcs(String s1, String s2, int i, int j) {if (i == s1.length() || j == s2.length()) return 0;if (memo[i][j] != -1) return memo[i][j];int res;if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {res = 1 + lcs(s1, s2, i + 1, j + 1);} else {res = Math.max(lcs(s1, s2, i + 1, j),lcs(s1, s2, i, j + 1));}return memo[i][j] = res;
   }

3. 自底向上 DP

   for (int i = 0; i < m; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;} else {dp[i+1][j+1] = Math.max(dp[i][j+1], dp[i+1][j]);}}
   }

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题目5：编辑距离（Edit Distance）

1. 递归（暴力）

   int edit(String w1, String w2, int i, int j) {if (i == 0) return j;if (j == 0) return i;if (w1.charAt(i - 1) == w2.charAt(j - 1)) {return edit(w1, w2, i - 1, j - 1);}return 1 + Math.min(Math.min(edit(w1, w2, i - 1, j),   // 删除edit(w1, w2, i, j - 1)),  // 插入edit(w1, w2, i - 1, j - 1)         // 替换);
   }

2. 记忆化搜索

   int[][] memo;
   int edit(String w1, String w2, int i, int j) {if (i == 0) return j;if (j == 0) return i;if (memo[i][j] != -1) return memo[i][j];int res;if (w1.charAt(i - 1) == w2.charAt(j - 1)) {res = edit(w1, w2, i - 1, j - 1);} else {res = 1 + Math.min(Math.min(edit(w1, w2, i - 1, j),edit(w1, w2, i, j - 1)),edit(w1, w2, i - 1, j - 1));}return memo[i][j] = res;
   }

3. 自底向上 DP

   for (int i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;for (int j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (w1.charAt(i - 1) == w2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];} else {dp[i][j] = 1 + Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]),dp[i - 1][j - 1]);}}
   }

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题目6：最长递增子序列（LIS）

1. 递归（暴力）

   
   int lis(int[] nums, int prev, int i) {if (i == nums.length) return 0;int taken = nums[i] > prev ? 1 + lis(nums, nums[i], i + 1) : 0;int notTaken = lis(nums, prev, i + 1);return Math.max(taken, notTaken);
   }

2. 记忆化搜索

   
   int[] memo;
   int lis(int[] nums, int i) {if (memo[i] != -1) return memo[i];int max = 1;for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {max = Math.max(max, lis(nums, j) + 1);}}return memo[i] = max;
   }

3. 自底向上 DP

   for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i] = 1;for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}
   }

方法	特点	效率	难度
回溯	全部暴力尝试，不记结果	最低	最低
记忆化搜索	递归 + 记录，避免重复	中等	中等
递推（动态规划）	明确状态，自底向上推进	最高	略高