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题目
什么是异或
为什么异或可以解决
过程
正确写法
题目
260. 只出现一次的数字 III - 力扣（LeetCode）
什么是异或
异或（XOR）是一种基本的位运算操作，符号通常表示为 ^。它有以下特点：
定义：
- 异或是一种二元运算，对两个位（bit）进行操作
- 当两个位相同时，结果为0
- 当两个位不同时，结果为1
真值表：
- 0 ^ 0 = 0
- 0 ^ 1 = 1
- 1 ^ 0 = 1
- 1 ^ 1 = 0
重要性质：
- 任何数与0异或等于其本身：a ^ 0 = a
- 任何数与自身异或等于0：a ^ a = 0
- 异或满足交换律：a ^ b = b ^ a
- 异或满足结合律：(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
- 自反性：a ^ b ^ b = a（连续异或同一个数两次，等于没有操作）
为什么异或可以解决
异或可以解决这道题的原因基于以下几个关键特性：
异或的基本性质：
- 任何数与0异或等于其本身：a ^ 0 = a
- 任何数与自身异或等于0：a ^ a = 0
- 异或满足交换律和结合律：a ^ b = b ^ a 和 (a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)
处理重复元素：
- 当数组中的元素出现两次时，两个相同的数异或会得到0
- 例如：[2,3,2,4,3,1,4,7] 异或结果为 2^3^2^4^3^1^4^7 = (2^2)^(3^3)^(4^4)^1^7 = 0^0^0^1^7 = 1^7
- 这样，所有出现两次的数都会"抵消"，只留下出现一次的数
区分两个不同的数：
- 当我们对整个数组异或后，得到的结果 xorResult = a ^ b（a和b是只出现一次的两个数）
- xorResult 中为1的位表示a和b在该位上不同（一个为0，一个为1）
- 我们可以利用这个差异将原数组分成两组，使得：
- a和b被分到不同组
- 相同的数一定在同一组（因为它们在所有位上都相同）
为什么xorResult中的1很重要：
- 如果xorResult的某一位是1，这意味着a和b在这一位上的值不同
- 一个数是0，另一个数是1
- 例如，如果a=5 (101)，b=3 (011)，则xorResult=6 (110)
- 在这个例子中，第1位和第2位都是1，表示a和b在这两位上不同
利用这个差异分组：
- 我们选择xorResult中任意一个为1的位（例如最低位的1）
- 用这个位将原数组分成两组：
- 第一组：该位为1的所有数字
- 第二组：该位为0的所有数字
分组策略的有效性：
- 选择 xorResult 中任意一个为1的位作为分组标准
- 这保证了a和b会被分到不同组（因为它们在这一位上不同）
- 而所有出现两次的数，每个数的两个副本都会被分到同一组
- 这样，每组内部再次进行异或，就变成了找"只出现一次的数字"的简单问题
总结来说，异或运算在这道题中发挥了两个关键作用：
- 消除所有出现两次的数，让我们专注于只出现一次的数
- 提供了一种区分两个只出现一次的数的方法，使我们能将问题分解
过程
数组 [1, 2, 1, 3, 2, 5]：
步骤1：计算所有元素的异或结果
xorResult = 1 ^ 2 ^ 1 ^ 3 ^ 2 ^ 5= (1 ^ 1) ^ (2 ^ 2) ^ 3 ^ 5 // 相同的数异或得0= 0 ^ 0 ^ 3 ^ 5 // 任何数与0异或等于其本身= 3 ^ 5= 0011 ^ 0101 // 转为二进制= 0110 // 结果为6步骤2：找到xorResult中最低位的1
xorResult = 0110
-xorResult = 取反后+1 = 1001 + 1 = 1010 // 补码运算
diff = xorResult & (-xorResult) = 0110 & 1010 = 0010 // 结果为2这表示xorResult的第1位（从右往左，从0开始数）是1，即3和5在这一位上不同。
步骤3：根据这一位将数组分成两组
数组：[1, 2, 1, 3, 2, 5]
转为二进制：[0001, 0010, 0001, 0011, 0010, 0101]检查每个数的第1位：
1 (0001)：第1位是0，放入第一组
2 (0010)：第1位是1，放入第二组
1 (0001)：第1位是0，放入第一组
3 (0011)：第1位是1，放入第二组
2 (0010)：第1位是1，放入第二组
5 (0101)：第1位是0，放入第一组两组分别为：
- 第一组（第1位为0）：[1, 1, 5]
- 第二组（第1位为1）：[2, 3, 2]
步骤4：分别对两组进行异或
第一组：1 ^ 1 ^ 5 = (1 ^ 1) ^ 5 = 0 ^ 5 = 5
第二组：2 ^ 3 ^ 2 = (2 ^ 2) ^ 3 = 0 ^ 3 = 3最终结果：[3, 5]
正确写法
class Solution {
public:vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {//第一步进行整体异或long long xorResult = 0;for(int num : nums){xorResult ^= num;}//第二步进行找到最低位1int diff = xorResult & (-xorResult);//第三步判断最低为是否为1进行分组int x = 0, y =0;for(int num : nums){if(num & diff){x ^= num;}else{y ^= num;}}return {x,y};}
};