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这是完全背包问题。

由于求的是组合数，所以外层循环只能是对硬币遍历，内层循环只能是对总金额的遍历。

另外，虽然题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。但是第28个测试用例，dp[j]+dp[j-conis[i]]中间结果会整数溢出，需要特别处理这种情况。

第一版代码

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {int n = coins.size();//dp[j]表示从coins中任选若干个硬币，被选中的硬币的价值总和等于j的选法数量vector<int> dp(amount+1,0);//除了dp[0]外都初始化为0，表示没有硬币可选的时候没有办法选到大于0的价值总和（选法为0）dp[0] = 1;//表示没有硬币可选的时候，选择0个硬币，选到的硬币价值总和等于0的选法有1种for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){dp[j] += dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

 可以看到第28个测试用例，会溢出：

第二版代码

把数据类型改成long long 仍然会溢出：

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {int n = coins.size();//dp[j]表示从coins中任选若干个硬币，被选中的硬币的价值总和等于j的选法数量vector<long long> dp(amount+1,0);//除了dp[0]外都初始化为0，表示没有硬币可选的时候没有办法选到大于0的价值总和（选法为0）dp[0] = 1;//表示没有硬币可选的时候，选择0个硬币，选到的硬币价值总和等于0的选法有1种for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){dp[j] += dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

结果：

 第三版代码

中间结果溢出，则直接返回0。这样处理，可以通过用例，但中间结果溢出，是不是代表dp[amount]一定是0，这是个有待思考的问题？但从做题角度来说，这样刚好可以通过。

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {int n = coins.size();//dp[j]表示从coins中任选若干个硬币，被选中的硬币的价值总和等于j的选法数量vector<int> dp(amount+1,0);//除了dp[0]外都初始化为0，表示没有硬币可选的时候没有办法选到大于0的价值总和（选法为0）dp[0] = 1;//表示没有硬币可选的时候，选择0个硬币，选到的硬币价值总和等于0的选法有1种for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){if((long)dp[j] + (long)dp[j-coins[i]] > std::numeric_limits<int>::max())return 0;dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

第四版代码

把数据类型改成double试试看，发现可以通过

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {int n = coins.size();//dp[j]表示从coins中任选若干个硬币，被选中的硬币的价值总和等于j的选法数量vector<double> dp(amount+1,0);//除了dp[0]外都初始化为0，表示没有硬币可选的时候没有办法选到大于0的价值总和（选法为0）dp[0] = 1;//表示没有硬币可选的时候，选择0个硬币，选到的硬币价值总和等于0的选法有1种for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){dp[j] += dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};

 第28个测试用例的coins是

{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100,102,104,106,108,110,112,114,116,118,120,122,124,126,128,130,132,134,136,138,140,142,144,146,148,150,152,154,156,158,160,162,164,166,168,170,172,174,176,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228,230,232,234,236,238,240,242,244,246,248,250,252,254,256,258,260,262,264,266,268,270,272,274,276,278,280,282,284,286,288,290,292,294,296,298,300,302,304,306,308,310,312,314,316,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,338,340,342,344,346,348,350,352,354,356,358,360,362,364,366,368,370,372,374,376,378,380,382,384,386,388,390,392,394,396,398,400,402,404,406,408,410,412,414,416,418,420,422,424,426,428,430,432,434,436,438,440,442,444,446,448,450,452,454,456,458,460,462,464,466,468,470,472,474,476,478,480,482,484,486,488,490,492,494,496,498,500,502,504,506,508,510,512,514,516,518,520,522,524,526,528,530,532,534,536,538,540,542,544,546,548,550,552,554,556,558,560,562,564,566,568,570,572,574,576,578,580,582,584,586,588,780,936,1170,1560,2340,4680}

第五版代码

采用leetcode官方题解的办法。这种办法相比于第三版代码，逻辑上的正确性更好理解。

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {int n = coins.size();//valid[j]表示是否能够从coins中选择若干个硬币使得所选硬币的金额总和等于jvector<bool> valid(amount+1,false);valid[0] = true;for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){valid[j] = valid[j] || valid[j-coins[i]];}}if(!valid[amount])return 0;//dp[j]表示从coins中任选若干个硬币，被选中的硬币的价值总和等于j的选法数量vector<int> dp(amount+1,0);//除了dp[0]外都初始化为0，表示没有硬币可选的时候没有办法选到大于0的价值总和（选法为0）dp[0] = 1;//表示没有硬币可选的时候，选择0个硬币，选到的硬币价值总和等于0的选法有1种for(int i = 0;i < n;i++){for(int j = coins[i];j <= amount;j++){dp[j] += dp[j-coins[i]];}}return dp[amount];}
};