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manacher 算法详解

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Manacher（马拉车）————O(n)回文子串 - 沉~杉 - 博客园 (cnblogs.com)

背景

简介

Manacher算法是一种用于寻找字符串中最长回文子串的高效算法。它的时间复杂度为O(n)，其中n是字符串的长度。该算法由Glenn Manacher在1975年提出，并在后续的研究中被不断完善。

算法思想

Manacher算法的核心思想是利用已经计算出的回文信息来减少重复计算。具体来说，当我们在字符串中找到一个回文串时，可以利用这个回文串的对称性来推断出其他位置可能存在的回文串。

算法步骤

1. 预处理：

   • 为了简化处理过程，通常会在原字符串的每个字符之间插入一个特殊字符（比如’#'），并在字符串的开始和结束处各添加一个特殊字符。这样做是为了避免边界问题，并且使得回文串既可以是奇数长度也可以是偶数长度。

   例如，对于字符串"abcba"，预处理后变为"#a#b#c#b#a#"。

   在此举个例子：s=‘abbadcacda’先转化成s_new=’KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '#' at position 1: #̲a#b#b#a#d#c#a#c…‘与’\0’，是边界）

   这样原串中的偶回文（abba）与奇回文（adcacda），变成了（#a#d#d#a#）与（#a#d#c#a#c#d#a#）两个奇回文。

2. 定义数组P：

   • 定义一个数组P，其中P[i]表示以第i个字符为中心的最大回文半径（不包括中心字符本身）。

例子如下：

3. 动态规划：

   • 初始化两个变量C和R，其中C表示当前回文中心的位置，R表示当前回文右边界的位置。

   • 遍历预处理后的字符串，对于每个位置 i：

     • 如果i < R，那么可以利用对称性，找到i关于C的镜像位置mirr = 2 * C - i，并利用已知的P[mirr]值来初始化P[i]的最小值。
     • 如果i + P[i] > R，则需要从R + 1开始扩展回文串，直到找到不成立的情况为止。
     • 更新C和R的值，如果i + P[i] > R，则C = i，R = i + P[i]。

4. 查找最长回文子串：

   • 在遍历过程中，记录下最大的P[i]值及其对应的索引，最后根据这个索引和值就可以找出最长的回文子串。

示例代码

def manacher(s):# Preprocess the string to avoid edge casest = '#' + '#'.join(s) + '#'n = len(t)p = [0] * ncenter, right = 0, 0for i in range(n):mirror = 2 * center - iif i < right:p[i] = min(right - i, p[mirror])# Attempt to expand palindrome centered at iwhile i + p[i] + 1 < n and i - p[i] - 1 >= 0 and t[i + p[i] + 1] == t[i - p[i] - 1]:p[i] += 1# If palindrome centered at i expands past right,# adjust center based on expanded palindrome.if i + p[i] > right:center, right = i, i + p[i]# Find the maximum element in pmax_len, center_index = max((n, i) for i, n in enumerate(p))return s[(center_index - max_len) // 2: (center_index + max_len) // 2]# Example usage
print(manacher("abcbabcbabcba"))  # Outputs: "abcbabcba"