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洛谷P5021 [NOIP 2018 提高组] 赛道修建

洛谷题目传送门

题目描述

C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 $m$ 条赛道。

C 城一共有 $n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2,\dots ,n$，有 $n-1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为 $a_i$ 和 $b_i$，该道路的长度为 $l_i$。借助这 $n-1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。

一条赛道是一组互不相同的道路 $e_1,e_2,\dots ,e_k$，满足可以从某个路口出发，依次经过 道路 $e_1,e_2,\dots ,e_k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。

目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）

输入格式

输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 $n,m$，分别表示路口数及需要修建的 赛道数。

接下来 $n-1$ 行，第 $i$ 行包含三个正整数 $a_i,b_i,l_i$，表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道 路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n-1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

7 1 
1 2 10 
1 3 5 
2 4 9 
2 5 8 
3 6 6 
3 7 7

输出 #1

31

输入输出样例 #2

输入 #2

9 3 
1 2 6 
2 3 3 
3 4 5 
4 5 10 
6 2 4 
7 2 9 
8 4 7 
9 4 4

输出 #2

15

说明/提示

【输入输出样例 1 说明】

所有路口及适合于修建赛道的道路如下图所示：

道路旁括号内的数字表示道路的编号，非括号内的数字表示道路长度。 需要修建 $1$ 条赛道。可以修建经过第 $3,1,2,6$ 条道路的赛道（从路口 $4$ 到路口 $7$）， 则该赛道的长度为 $9+10+5+7=31$，为所有方案中的最大值。

【输入输出样例 2 说明】

所有路口及适合于修建赛道的道路如下图所示：

需要修建 $3$ 条赛道。可以修建如下 $3$ 条赛道：

1. 经过第 $1,6 $条道路的赛道（从路口 $1$ 到路口$ 7$），长度为 $6+9=15$；
2. 经过第$ 5,2,3,8$ 条道路的赛道（从路口$ 6$ 到路口 $9$），长度为 $4+3+5+4=16$；
3. 经过第 $7,4$ 条道路的赛道（从路口 $8$ 到路口$ 5$），长度为 $7+10=17$。 长度最小的赛道长度为 $15$，为所有方案中的最大值。

数据规模与约定

所有测试数据的范围和特点如下表所示 :

测试点编号	$n$	$m$	$a_i=1$	$b_i=a_i+1$	分支不超过 $3$
$1$	$\le 5$	$=1$	否	否	是
$2$	$\le 10$	$\le n-1$	否	是	是
$3$	$\le 15$	$\le n-1$	是	否	否
$4$	$\le 10^3$	$=1$	否	否	是
$5$	$\le 3\times 10^4$	$=1$	是	否	否
$6$	$\le 3\times 10^4$	$=1$	否	否	否
$7$	$\le 3\times 10^4$	$\le n-1$	是	否	否
$8$	$\le 5\times 10^4$	$\le n-1$	是	否	否
$9$	$\le 10^3$	$\le n-1$	否	是	是
$10$	$\le 3\times 10^4$	$\le n-1$	否	是	是
$11$	$\le 5\times 10^4$	$\le n-1$	否	是	是
$12$	$\le 50$	$\le n-1$	否	否	是
$13$	$\le 50$	$\le n-1$	否	否	是
$14$	$\le 200$	$\le n-1$	否	否	是
$15$	$\le 200$	$\le n-1$	否	否	是
$16$	$\le 10^3$	$\le n-1$	否	否	是
$17$	$\le 10^3$	$\le n-1$	否	否	否
$18$	$\le 3\times 10^4$	$\le n-1$	否	否	否
$19$	$\le 3\times 10^4$	$\le n-1$	否	否	否
$20$	$\le 5\times 10^4$	$\le n-1$	否	否	否

其中，「分支不超过 $3$」的含义为：每个路口至多有 $3$ 条道路与其相连。

对于所有的数据，$2\le n\le 5\times 10^4,1\le m\le n-1,1\le a_i,b_i\le n,1\le l_i\le 10^4$。

思路详解

我们先来看一下特殊数据。

m=1

很显然，当$m=1$时，显然只需要求出最长链即可。估计得分20分。

$b_i=a_i+1$

显然树退化成了一条链，直接二分+贪心即可，估计得分20分。

$a_i=1$

显然由于不能往回走，只能选取至多两条边形成链。二分即可。

思路

由$a_i=1$的思路可得，我们发现对于$u$的子树，在不考虑向上延伸的情况下，我们只可以选择至多两条到叶子节点的路径形成链。并且最多可以送一条到叶子节点的链到上一层，因为父亲节点只有一个。
那我们首先二分答案，再每次先在子树中找可以拼凑出的，最后挑选一条没有用的最长的链送到上面即可。具体的贪心思路如下。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5,M=0x7fffffff;
int n,m;
int h[N],to[N],w[N],ne[N],tot=0;
void add(int u,int v,int d){//建边tot++;to[tot]=v;w[tot]=d;ne[tot]=h[u];h[u]=tot;
}
int res=0;
int q[N],vis[N],js[N];//js[u]记录u的子树送上去的链
void dfs(int u,int fa,int k){for(int i=h[u];i;i=ne[i]){//先往下跑int v=to[i];if(v==fa)continue;dfs(v,u,k);}int r=0;//队列清空for(int i=h[u];i;i=ne[i]){int v=to[i];if(v==fa)continue;q[++r]=w[i]+js[v];//要加上送的链}sort(q+1,q+1+r);//排一下序，后面要查找for(int i=r;i>=1;i--){//可以单独满足就不用凑了if(q[i]>=k){res--;r--;}}for(int i=1;i<=r;i++){if(vis[i]==u)continue;//让vis记录它被哪个节点用了，这样就不用清空了int p=lower_bound(q+i+1,q+r,k-q[i])-q;
//由贪心思想可得，对于每条链，找与它可凑成的最小的凑if(q[p]+q[i]<k)continue;//没找到while(vis[p]==u&&p<=r)p++;//可能找到用过的，由于要满足，只能往后找if(p>r)continue;//没找到vis[p]=vis[i]=u;//标记res--;}js[u]=0;for(int i=1;i<=r;i++){//往上传最大的if(vis[i]!=u)js[u]=max(js[u],q[i]);}
}
bool check(int k){memset(vis,0,sizeof(vis));//记得赋初值dfs(1,0,k);return res<=0;//凑完或凑多
}
int find(int l,int r){//二分查找答案if(l>=r)return l-1;int mid=(l+r)/2;res=m;if(check(mid))return find(mid+1,r);return find(l,mid);
}
int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n-1;i++){int x,y,z;cin>>x>>y>>z;add(x,y,z);add(y,x,z);}cout<<find(0,M);return 0;
}