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PCA

1. 算法介绍

• 背景与目标
  主成分分析（PCA）最早由 Karl Pearson 在1901年提出，是一种无监督的线性降维方法。它的核心目标是：

  在保留数据总方差（信息量）尽可能多的前提下，将高维数据投影到低维空间。

• 应用场景

  • 降维与可视化：将高维样本映射到2D/3D以便可视化
  • 去噪：去除小方差方向上的噪声
  • 特征压缩：在训练机器学习模型前减少输入维度，提升效率
  • 数据预处理：常用作后续分类、聚类等算法的输入

• 核心思路

  1. 数据中心化（Zero-mean）——去除均值后，保证后续方差统计不受偏移影响；
  2. 协方差矩阵或SVD分解——捕捉变量之间的线性相关结构；
  3. 特征向量（主成分方向）对应最大方差方向；
  4. 投影——将原始数据投影到前 $k$ 个主成分，完成降维。

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2. 公式及原理

2.1 方差最大化视角

• 寻找一个单位向量 $\mathbf{w}$，使得投影后的一维变量 $y_i={\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}_i$ 具有最大方差：

  $$\underset{\Vert \mathbf{w}\Vert =1}{\max }\mathrm{Var}(y)=\underset{\Vert \mathbf{w}\Vert =1}{\max }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n({\mathbf{w}}^{\top }{\mathbf{x}}_i-\overline{y}{)}^2=\underset{\Vert \mathbf{w}\Vert =1}{\max }{\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{C}\mathbf{w}$$

  其中 $\mathbf{C}$ 是样本协方差矩阵。

• 引入拉格朗日乘子 $\lambda$，解

  $$\mathcal{L}(\mathbf{w},\lambda )={\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{C}\mathbf{w}-\lambda ({\mathbf{w}}^{\top }\mathbf{w}-1),$$

  对 $\mathbf{w}$ 求导并令梯度为零，得到

  $$\mathbf{C}\mathbf{w}=\lambda \mathbf{w},$$

  即标准的特征值问题。最大方差对应最大特征值 ${\lambda }_1$ 及其特征向量 ${\mathbf{v}}_1$。

2.2 协方差矩阵构造

1. 原始数据矩阵 $\mathbf{X}$ 为 $n\times d$，每行一个样本。

2. 样本均值：

   $$\mathbf{\mu }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathbf{x}}_i(d\text{-维向量})$$

3. 中心化数据：

   $${\mathbf{X}}_{\mathrm{c}}=\mathbf{X}-1{\mathbf{\mu }}^{\top }$$

4. 协方差矩阵：

   $$\mathbf{C}=\frac{1}{n-1}{\mathbf{X}}_{\mathrm{c}}^{\top }{\mathbf{X}}_{\mathrm{c}}(d\times d)$$

2.3 特征分解与降维

• 对 $\mathbf{C}$ 做特征值分解：

  $$\mathbf{C}=\mathbf{V}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{V}}^{\top },\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d),{\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_d.$$

• 取前 $k$ 个特征向量组成矩阵
  ${\mathbf{V}}_k=[{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k]$（维度 $d\times k$）。

• 投影得到低维表示：

  $$\mathbf{Z}={\mathbf{X}}_{\mathrm{c}}{\mathbf{V}}_k(n\times k)$$

2.4 SVD 视角（可选）

• 对中心化矩阵 ${\mathbf{X}}_{\mathrm{c}}$ 做奇异值分解：

  $${\mathbf{X}}_{\mathrm{c}}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^{\top },$$

  则 $\mathbf{C}=\frac{1}{n-1}\mathbf{V}{\mathbf{\Sigma }}^2{\mathbf{V}}^{\top }$，奇异值平方与特征值对应，$\mathbf{V}$ 的前 $k$ 列即主成分方向。

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3. 伪代码

# 输入
#   X: 原始数据矩阵，形状 (n, d)
#   k: 降维后目标维度（k ≤ d）
# 输出
#   Z: 降维后数据，形状 (n, k)
#   V_k: 主成分方向矩阵，形状 (d, k)function PCA(X, k):# 1) 计算样本均值μ ← (1/n) * sum_rows(X)             # μ: (d,)# 2) 数据中心化X_c ← X − repeat_row_vector(μ, n)  # X_c: (n, d)# 3) 计算协方差矩阵C ← (1/(n−1)) * X_cᵀ × X_c         # C: (d, d)# 4) 特征值分解(Λ, V) ← eigendecompose(C)         # Λ: (d,), V: (d, d)#    Λ 按从大到小排序，V 列向量对应特征向量# 5) 取前 k 个特征向量V_k ← V[:, 0:k]                    # V_k: (d, k)# 6) 数据投影Z ← X_c × V_k                      # Z: (n, k)return Z, V_k

• 时间复杂度

  • 协方差矩阵构造： $O(n{d}^2)$
  • 特征分解： $O(d^3)$（当 $d$ 很大时可用 SVD + 随机投影等近似方法加速）

• 内存注意

  • 若 $d\gg n$，更倾向于直接对 $X_c$ 做 SVD，以节省构造 $d\times d$ 矩阵的内存。