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螺旋折线

题目描述

如下图所示的螺旋折线经过平面上所有整点恰好一次。

对于整点 (X,Y)(X,Y)，我们定义它到原点的距离 dis(X,Y)dis(X,Y) 是从原点到 (X,Y)(X,Y) 的螺旋折线段的长度。

例如 dis(0,1)=3,dis(−2,−1)=9dis(0,1)=3,dis(−2,−1)=9。

给出整点坐标 (X,Y)(X,Y)，你能计算出 dis(X,Y)dis(X,Y) 吗？

输入描述

输入格式：

输入一行，XX 和 YY ，−109≤X,Y≤109−109≤X,Y≤109。

输出描述

输出 dis(X,Y)dis(X,Y)。

输入输出样例

示例

输入

0 1

输出

3

运行限制

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难度: 中等   标签: 2018, 思维, 省赛

方法思路

题目要求计算螺旋折线上任意点 (X, Y) 到原点的折线长度。螺旋折线从原点 (0,0) 开始，以逆时针方向向外螺旋扩展。通过观察螺旋折线的规律，我们可以将问题分解为以下步骤：

1. 确定点所在的层数：螺旋折线可以看作由多个正方形环组成，每个环对应一个层数。点 (X, Y) 所在的层数 n 是 |X| 和 |Y| 中的最大值，即 n = max(|X|, |Y|)。

2. 计算内层环的总长度：对于层数 n，所有内层环（即从第 0 层到第 n-1 层）的总长度是 4 * n * n（因为每个环的周长递增，内层环的总长度公式推导为 4n²）。

3. 计算当前点在当前层的长度：

   • 如果 X >= Y，则点在当前层中满足一定条件，长度增加 |X - n| + |Y - n|。

   • 如果 X < Y，则点在当前层中满足另一条件，长度减少 |X - n| + |Y - n|。

     #include <iostream>
     #include <cmath>
     #include <algorithm>
     using namespace std;
     typedef long long LL;int main() {LL x, y;cin >> x >> y;LL n = max(abs(x), abs(y));  // 确定点所在的层数if (x >= y) {// 点在当前层中满足 X >= Ycout << 4 * n * n + abs(x - n) + abs(y - n) << endl;} else {// 点在当前层中满足 X < Ycout << 4 * n * n - abs(x - n) - abs(y - n) << endl;}return 0;
     }

     代码解释

   • 输入处理：读取整数坐标 x 和 y。

   • 确定层数：计算 n = max(|x|, |y|)，表示点 (x, y) 所在的螺旋层。

   • 示例验证

   • 输入 (0, 1)：n = max(0, 1) = 1，0 < 1，所以输出 4 * 1 * 1 - |0-1| - |1-1| = 4 - 1 - 0 = 3。

   • 输入 (-2, -1)：n = max(2, 1) = 2，-2 < -1，所以输出 4 * 2 * 2 - | -2-2| - | -1-2| = 16 - 4 - 3 = 9。

   • 输入 (1, 0)：n = max(1, 0) = 1，1 >= 0，所以输出 4 * 1 * 1 + |1-1| + |0-1| = 4 + 0 + 1 = 5。

   • 计算距离：

     • 内层环总长度：4 * n * n 表示所有内层环的折线总长度。

     • 当前层偏移量：

       • 如果 x >= y，点在当前层的偏移量是 abs(x - n) + abs(y - n)，因此总长度为 4 * n * n + abs(x - n) + abs(y - n)。

       • 如果 x < y，点在当前层的偏移量是 - (abs(x - n) + abs(y - n))，因此总长度为 4 * n * n - abs(x - n) - abs(y - n)。

   • 输出结果：根据上述条件计算并输出点 (x, y) 到原点的螺旋折线长度。