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代数基本定理

对于多项式 $f(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0$（其中 $n>1$ 且 $a_n,a_0\ne 0$），它在复数域内有根。

$$f(z)=U(r,\theta )+V(r,\theta )i$$

其中 $r$ 和 $\theta$ 分别是 $z$ 的模和幅角。

CR条件

$$\begin{array}{rl}r\frac{\partial U}{\partial r}& =\frac{\partial V}{\partial \theta }\\ r\frac{\partial V}{\partial r}& =-\frac{\partial U}{\partial \theta }\end{array}$$

构造二元实函数 $H$

$$H(r,\theta )=\arctan \left(\frac{U(r,\theta )}{V(r,\theta )}\right)$$

$H$ 的二阶混合偏导数

$$\frac{{\partial }^{2}H}{\partial r\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{\frac{\partial U}{\partial \theta }V-U\frac{\partial V}{\partial \theta }}{V^2+U^2}\right)$$

累次积分 $I_1$ 和 $I_2$

$$I_1={\int }_0^{R}dr{\int }_0^{2\pi }\frac{{\partial }^{2}H}{\partial r\partial \theta }d\theta ,I_2={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R\frac{{\partial }^{2}H}{\partial r\partial \theta }dr$$

假设 $f(z)$ 无根

假设 $f(z)$ 无根，则 $U^2+V^2\ne 0$，从而 $\frac{{\partial }^{2}H}{\partial r\partial \theta }$ 连续，积分顺序可交换，并且 $I_1=I_2$。

$I_1$ 和 $I_2$ 不恒等

$${\int }_0^{2\pi }\frac{{\partial }^{2}H}{\partial r\partial \theta }d\theta =0⟹I_1=0$$

$$I_2=\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R\frac{{\partial }^{2}H}{\partial r\partial \theta }dr={\int }_0^{2\pi }d\theta \left({\frac{\partial H}{\partial \theta }|}_{r=0}^{r=R}\right)=-2\pi n$$

结论

由于 $I_1\ne I_2$，存在 $r_m,{\theta }_m$ 使得 $U^2(r_m,{\theta }_m)+V^2(r_m,{\theta }_m)=0$，即存在某个 $z_m=r_m{e}^{i{\theta }_m}$ 使得 $f(z_m)=0$。