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1. 迭代求解器核心类概览

Eigen 提供多种迭代法求解稀疏线性方程组 Ax=bAx=b，适用于大规模稀疏矩阵：

求解器类	适用矩阵类型	算法	关键特性
ConjugateGradient	对称正定（SPD）	共轭梯度法（CG）	高精度，内存效率高
LeastSquaresConjugateGradient	矩形矩阵	最小二乘 CG（LSQR）	解最小二乘问题 min⁡∥Ax−b∥2min∥Ax−b∥2
BiCGSTAB	非对称	稳定双共轭梯度法	适用一般矩阵，收敛速度快
GMRES	非对称	广义最小残差法	适合病态系统，需重启参数
DGMRES	非对称	动态 GMRES	自适应子空间大小
MINRES	对称不定	最小残差法	无需正定性

2. 通用属性与方法

所有迭代求解器继承自 Eigen::IterativeSolverBase，提供统一接口：

核心方法

方法	参数说明	返回值/功能	示例
compute(const MatrixType& A)	A: 稀疏矩阵	预计算分解（如预处理）	solver.compute(A);
solve(const VectorType& b)	b: 右侧向量	返回解向量 xx	VectorXd x = solver.solve(b);
info()	无	返回收敛状态（Success/NoConvergence）	if (solver.info() != Success) {...}
iterations()	无	返回实际迭代次数	int iters = solver.iterations();
error()	无	返回最后一次迭代的误差估计	double err = solver.error();

通用参数设置

方法	参数说明	默认值	示例
setTolerance(Scalar tol)	设置收敛容差	1e-10	solver.setTolerance(1e-6);
setMaxIterations(int max_it)	设置最大迭代次数	取决于求解器	solver.setMaxIterations(1000);
setPreconditioner(Precond)	设置预条件子（见下文）	Identity	solver.setPreconditioner(ILU);

3. 各求解器特有方法

(1) ConjugateGradient (CG)

• 特有设置：

  cpp

  // 设置对角预条件子（默认启用）
  solver.setPreconditioner(DiagonalPreconditioner<double>());

(2) BiCGSTAB

• 重启参数（无默认重启）：

  cpp

  // 设置重启周期（GMRES/DGMRES 适用）
  solver.set_restart(30);  // 每30次迭代重启

(3) GMRES / DGMRES

• 子空间大小：

  cpp

  // 设置子空间维度（默认30）
  GMRES<SparseMatrix<double>> solver;
  solver.set_restart(50);  // 重启周期=子空间大小

4. 预条件子（Preconditioner）

预条件子可加速收敛，Eigen 提供以下选项：

预条件子类	适用场景	配置方法
DiagonalPreconditioner	对角占优矩阵	默认启用（CG）
IncompleteLUT (ILU)	通用稀疏矩阵	solver.preconditioner().setFillfactor(2);
IdentityPreconditioner	无预处理（默认）	无需配置

ILU 预条件子示例

cpp

ConjugateGradient<SparseMatrix<double>, Lower, IncompleteLUT<double>> solver;
solver.preconditioner().setFillfactor(2);  // 填充因子
solver.compute(A);
VectorXd x = solver.solve(b);

5. 代码示例

基本使用（CG 求解对称正定系统）

cpp

#include <Eigen/Sparse>
#include <Eigen/IterativeLinearSolvers>
using namespace Eigen;SparseMatrix<double> A(1000, 1000);
VectorXd b = VectorXd::Random(1000);
// 填充 A 为对称正定矩阵...ConjugateGradient<SparseMatrix<double>> solver;
solver.setTolerance(1e-8);
solver.setMaxIterations(1000);
solver.compute(A);VectorXd x = solver.solve(b);
std::cout << "#iterations: " << solver.iterations() << ", error: " << solver.error() << std::endl;

BiCGSTAB 解非对称系统

cpp

BiCGSTAB<SparseMatrix<double>> solver;
solver.setTolerance(1e-6);
solver.compute(A);
VectorXd x = solver.solve(b);

6. 参数选择建议

参数	推荐值/策略	说明
容差 (tolerance)	1e-6 ~ 1e-10	根据精度需求调整
最大迭代次数	1000~5000	避免无限循环
预条件子	ILU 或 Diagonal	依矩阵特性选择
重启周期（GMRES）	30~50	内存与收敛速度的权衡

7. 性能优化技巧

1. 矩阵格式：确保输入矩阵为 SparseMatrix 且已调用 makeCompressed()。

2. 预条件子：对病态系统，ILU 预条件子可显著提升收敛速度。

3. ** warm-start**：若多次求解相同矩阵不同 bb，复用 compute(A) 结果。

8. 常见错误处理

• 不收敛：检查矩阵是否满足求解器要求（如 CG 需对称正定）。

• 数值不稳定：尝试调整容差或改用更稳定的算法（如 MINRES）。

• 内存不足：减小 GMRES 重启参数或使用内存友好的 CG。

掌握这些迭代求解器后，可高效处理大规模稀疏线性系统！更多细节见 Eigen 文档。