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什么是前缀和？

如何计算前缀和？

前缀和有什么用？

实战

什么是前缀和？

前缀和可以将数组中的连续元素相加

sum是数组中第一个元素到第i个元素的和

感觉像是简单的dp?

如何计算前缀和？

很简单，只要遍历一遍数组，每次将a中当前元素加到上一个前缀和上

时间复杂度是O（N）

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {//原数组vector<int> a = { 1, 2, 3, 4, 5 };//前缀和数组vector<int> sum(a.size());sum[0] = a[0];//计算前缀和for (int i = 1; i < a.size (); i++) {sum[i] = sum[i - 1] + a[i];}// 输出前缀和数组for (int i = 0; i < a.size (); i++) {cout << sum[i] << " ";}cout << endl;return 0;
}

当然也可以用库函数，不过作者感觉没什么用（需要对库函数掌握得十分滴熟练）

#include<iostream>
#include<vector>
#include<numeric>
using namespace std;
int main() {vector<int> arr = { 1,2,3,4,5 };vector<int> sum(arr.size());partial_sum(arr.begin(), arr.end(), sum.begin());for (int i = 0; i < arr.size(); i++)cout << sum[i] << " ";return 0;
}

 在某些情况下还能再简单，即在原数组中计算，减少空间复杂度

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {vector<int> a = { 1, 2, 3, 4, 5 };int n = a.size();for (int i = 1; i < n; i++) {a[i] = a[i - 1] + a[i];}for (int num : a) {cout << num << " ";}return 0;
}

前缀和有什么用？

1、区间求和

给定一个区间,例如【1，3】，求数组在此区间上的和

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {vector<int> a = { 1, 2, 3, 4, 5 };vector<int> sum(a.size());int left = 1;int right = 3;sum[0] = a[0];for (int i = 1; i < a.size (); i++) {sum[i] = sum[i - 1] + a[i];}//求区间和cout << (sum[right] - sum[left-1]) << endl;return 0;
}

 这里有一个特例，就是当left为0的时候，left-1就越界了

提供两个解决方法，一个是用if(left==0)特判，另一个是原数组从下标为1的位置开始存储（推荐）

注意不能写成sum[right] - sum[left]

2、前缀积（和前缀和差不多）

求区间【1，3】的前缀积就是sum[right]-sum[left-1]

前提是前缀积不能溢出

高精度计算中通常会对前缀积进行取模

sum[i]=(sum[i-1]*arr[i])%mod

感兴趣的可以搜一下乘法逆元/费马小定理/快速幂（其实是作者不会）

3、异或和

求区间【1，3】的异或和就是sum[right]^sum[left-1]

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {vector<int> arr = { 2,2,7,5,7,2,1,4,1,5 };vector<int> s(arr.size());s[0] = arr[0];for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {s[i] = s[i - 1] ^ arr[i];}for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {cout << s[i] << " ";}return 0;
}

 

前缀异或和数字相同=这段区间异或和为0

比如上图异或和中有2个7，就代表原数组5，7，2这3个数的异或和为0

实战 

洛谷P2004 领地选择

二维前缀和

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int a[1050][1050], dp[1050][1050];
int main() {int n, m, c;cin >> n >> m >> c;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {cin >> a[i][j];dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][j - 1] + a[i][j];}}int x = 0, y = 0;int MAX = -2147483648;for (int i = c; i <= n; i++) {for (int j = c; j <= m; j++){int t = dp[i][j] - dp[i - c][j] - dp[i][j - c] + dp[i - c][j - c];if (t > MAX) {MAX = t;x = i - c + 1;y = j - c + 1;}}}cout << x << " " << y << endl;return 0;
}